Variables aléatoires : exercices de synthèse

Pile est le succès $S$ (probabilité $\dfrac13$) ; les lancers sont indépendants, on multiplie le long d'un chemin (voir le chapitre 9).

$P(X=0)=\left(\dfrac23\right)^3=\dfrac8{27}$. $X=1$ : trois chemins de probabilité $\dfrac13\times\dfrac49=\dfrac4{27}$, donc $P(X=1)=\dfrac{12}{27}$. $X=2$ : trois chemins de probabilité $\dfrac19\times\dfrac23=\dfrac2{27}$, donc $P(X=2)=\dfrac6{27}$. $P(X=3)=\dfrac1{27}$.

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x_i)$	$\dfrac8{27}$	$\dfrac{12}{27}$	$\dfrac6{27}$	$\dfrac1{27}$

Vérification : $\dfrac{8+12+6+1}{27}=1$.

$E(X)=\dfrac{0\times8+1\times12+2\times6+3\times1}{27}=\dfrac{27}{27}=1$.

$E(X^2)=\dfrac{0\times8+1\times12+4\times6+9\times1}{27}=\dfrac{45}{27}=\dfrac53$.

✅ D'après König-Huygens, $V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\dfrac53-1=\dfrac23$.

Le joueur reçoit $2X$ euros et paie $1{,}50$ € : $G=2X-1{,}5$. Par linéarité de l'espérance, $E(G)=2E(X)-1{,}5=0{,}5$.

$G$ prend les valeurs $-1{,}5$, $0{,}5$, $2{,}5$ et $4{,}5$ avec les probabilités $\dfrac8{27}$, $\dfrac{12}{27}$, $\dfrac6{27}$ et $\dfrac1{27}$.

$E(G^2)=\dfrac{2{,}25\times8+0{,}25\times12+6{,}25\times6+20{,}25\times1}{27}=\dfrac{78{,}75}{27}=\dfrac{35}{12}$.

$V(G)=\dfrac{35}{12}-\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac{32}{12}=\dfrac83$.

✅ $E(G)=0{,}5$, $V(G)=\dfrac83$ et $\sigma(G)=\sqrt{\dfrac83}\approx1{,}63$ €.

(Pour aller plus loin, hors programme : on retrouve $V(G)=2^2V(X)=\dfrac83$ avec $V(aX+b)=a^2V(X)$.)

$E(G)=0{,}5\neq0$ : le jeu n'est pas équitable ; il est favorable au joueur, qui gagne en moyenne $0{,}50$ € par partie.

Pour une mise $m$, $G=2X-m$ et $E(G)=2-m$.

✅ Le jeu serait équitable pour une mise $m=2$ €.

• Q1 : arbre, chemins comptés, loi complète, somme vérifiée.

• Q2 : espérance, $E(X^2)$, König-Huygens.

• Q3 : expression affine de $G$, linéarité citée, loi de $G$ pour la variance.

• Q4 : conclusion interprétée, mise équitable.

$A$ et $B$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales (chapitre 9) :

$P(D)=P(A)P_A(D)+P(B)P_B(D)=0{,}6\times0{,}02+0{,}4\times0{,}05=0{,}012+0{,}020=0{,}032$.

✅ $P(D)=0{,}032$.

Une pièce correcte rapporte $20$ €. Une pièce défectueuse rapporte $20-15=5$ €.

$x_i$	$20$	$5$
$P(X=x_i)$	$0{,}968$	$0{,}032$

Vérification : $0{,}968+0{,}032=1$.

$E(X)=20\times0{,}968+5\times0{,}032=19{,}36+0{,}16=19{,}52$.

$E(X^2)=400\times0{,}968+25\times0{,}032=387{,}2+0{,}8=388$.

$V(X)=388-19{,}52^2=388-381{,}0304=6{,}9696$.

✅ $E(X)=19{,}52$ €, $V(X)=6{,}9696$ et $\sigma(X)=\sqrt{6{,}9696}=2{,}64$ €.

Le gain moyen par pièce est de $19{,}52$ €. Sur un grand nombre de pièces vendues, comme $1000$, le gain total divisé par le nombre de pièces est en général proche de $19{,}52$ €.

✅ Pour $1000$ pièces, on peut donc s'attendre à un gain total de l'ordre de $19\,520$ €. C'est une estimation, pas une valeur certaine.

Si le remplacement coûte $c$ euros, $X$ vaut $20$ avec la probabilité $0{,}968$ et $20-c$ avec la probabilité $0{,}032$.

$E(X)=20-0{,}032\,c$, qui est nulle pour $c=\dfrac{20}{0{,}032}=625$.

✅ Le gain moyen est nul si un remplacement coûte $625$ €.

• Q1 : partition citée, formule des probabilités totales.

• Q2 : valeurs possibles et loi, somme vérifiée.

• Q3 : König-Huygens, écart type avec racine.

• Q4 : interprétation de l'espérance comme gain moyen par pièce.

• Q5 : équation en $c$, résolution.

$2\sigma=\sqrt{13}$ donc $\dfrac{2\sigma}{\sqrt n}=\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt n}$.

Pour $n=10$ : $\sqrt{1{,}3}\approx1{,}14$. Pour $n=100$ : $\dfrac{\sqrt{13}}{10}\approx0{,}36$. Pour $n=1000$ : $\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{1000}}\approx0{,}11$.

✅ Quand $n$ est multiplié par $100$, la quantité est divisée par $10$.

Le gain vaut $-1$, $1$ ou $4$ selon le résultat du dé ; la moyenne est la somme des gains divisée par $n$.

from random import randint

def gain():
    de = randint(1, 6)
    if de <= 3:
        return -1
    if de <= 5:
        return 1
    return 4

def moyenne(n):
    total = 0
    for _ in range(n):
        total += gain()
    return total / n

On génère une moyenne d'échantillon avec moyenne(n) et on teste l'écart avec $\mu$.

from math import sqrt

def proportion(N, n, mu, sigma):
    ok = 0
    for _ in range(N):
        m = moyenne(n)
        if abs(m - mu) <= 2 * sigma / sqrt(n):
            ok += 1
    return ok / N

La fonction compte les échantillons proches de $\mu$ et renvoie la fréquence de ce cas.

Les trois proportions sont proches de $0{,}95$ (un peu au-dessus).

✅ Environ $95\,\%$ des moyennes d'échantillons sont à une distance de $\mu=0{,}5$ inférieure ou égale à $\dfrac{2\sigma}{\sqrt n}$ : cet intervalle est de plus en plus étroit quand $n$ augmente ($1{,}14$ puis $0{,}36$ puis $0{,}11$), donc la moyenne observée estime l'espérance avec une précision qui s'améliore.

Pour diviser $\dfrac{2\sigma}{\sqrt n}$ par $4$, il faut multiplier $\sqrt n$ par $4$, donc $n$ par $16$.

(Il s'agit d'observations par simulation : les valeurs changent à chaque exécution.)

• Q1 : calcul de $\dfrac{2\sigma}{\sqrt n}$ pour les trois valeurs de $n$, avec commentaire.

• Q2 : valeurs des gains, accumulation et division par $n$.

• Q3 : boucle, test d'écart, fréquence renvoyée.

• Q4 : résultat interprété avec les mots du problème, sans parler de preuve.