Fiche 1 : signe de la dérivée et variations

Question 1

$f$ est un polynôme, dérivable sur $\R$.

✅ $f'(x)=2x-6=2(x-3)$

$f'(x)>0\iff x>3$ et $f'(x)<0\iff x<3$.

Question 2

$f(3)=9-18+5=-4$.

$x$	$-\infty$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$		↘	$-4$	↗

✅ $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;3]$ et strictement croissante sur $[3\,;+\infty[$.

Question 3

$f$ décroît jusqu'en $3$, puis croît : elle est minimale en $x=3$.

✅ Le minimum de $f$ est $-4$, atteint en $x=3$.

Question 1

$f$ est un polynôme, dérivable sur $[-2\,;4]$.

$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)$. Le trinôme $x^2-2x-3$ a pour racines $-1$ et $3$ (car $-1+3=2$ et $-1\times3=-3$).

✅ $f'(x)=3(x+1)(x-3)$

Question 2

Le trinôme a un coefficient $a=3>0$ : il est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.

$f(-2)=-8-12+18+2=0$, $f(-1)=-1-3+9+2=7$, $f(3)=27-27-27+2=-25$, $f(4)=64-48-36+2=-18$.

$x$	$-2$		$-1$		$3$		$4$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$0$	↗	$7$	↘	$-25$	↗	$-18$

✅ $f$ est strictement croissante sur $[-2\,;-1]$, strictement décroissante sur $[-1\,;3]$ et strictement croissante sur $[3\,;4]$.

Question 3

$f'$ s'annule en changeant de signe en $-1$ (de $+$ à $-$) et en $3$ (de $-$ à $+$).

✅ $f(-1)=7$ est un maximum local et $f(3)=-25$ est un minimum local.

Question 4

On compare avec les valeurs aux bornes : $f(-2)=0$ et $f(4)=-18$, qui sont comprises entre $-25$ et $7$.

✅ Le maximum de $f$ sur $[-2\,;4]$ est $7$ (en $x=-1$) et son minimum est $-25$ (en $x=3$).

Question 5

Sur $[-2\,;-1]$, $f$ va de $0$ à $7$ : la valeur $0$ est atteinte en $x=-2$.

Sur $[-1\,;3]$, $f$ décroît de $7$ à $-25$ : elle passe une fois par $0$.

Sur $[3\,;4]$, $f$ va de $-25$ à $-18$ : elle reste strictement négative.

✅ L'équation $f(x)=0$ a $2$ solutions dans $[-2\,;4]$.

Vérification : $f(x)=(x+2)(x^2-5x+1)$, dont les racines $-2$ et $\dfrac{5\pm\sqrt{21}}2$ donnent, dans $[-2\,;4]$, $x=-2$ et $x=\dfrac{5-\sqrt{21}}2\approx0{,}21$.

Question 1

$f'(x)=3x^2+3$. Pour tout réel $x$, $x^2\ge0$, donc $f'(x)\ge3>0$.

✅ $f$ est strictement croissante sur $\R$ (elle n'a pas d'extremum).

Question 2

$g'(x)=3x^2-6x+3=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2$.

Donc $g'(1)=0$, mais $g'(x)>0$ pour tout $x\neq1$ : $g'$ ne change pas de signe en $1$.

✅ $g$ est strictement croissante sur $\R$ : elle n'a pas d'extremum en $1$, bien que $g'(1)=0$.

Question 3

$g(1)=1-3+3=1$ et $g'(1)=0$ : la tangente est horizontale.

✅ $y=1$

$g(x)-1=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3$, qui est négatif pour $x<1$ et positif pour $x>1$.

✅ La courbe est en dessous de la tangente pour $x<1$ et au-dessus pour $x>1$ : elle traverse sa tangente en $1$.

Question 1

$f=\dfrac uv$ avec $u(x)=x$, $u'(x)=1$, $v(x)=x^2+1$, $v'(x)=2x$, et $v>0$ sur $\R$.

$f'(x)=\dfrac{1\times(x^2+1)-x\times2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}$

Le dénominateur est strictement positif : $f'$ est du signe de $1-x^2$, c'est-à-dire positif entre $-1$ et $1$.

$f(-1)=-\dfrac12$ et $f(1)=\dfrac12$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$		↘	$-\dfrac12$	↗	$\dfrac12$	↘

✅ $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;-1]$, croissante sur $[-1\,;1]$, décroissante sur $[1\,;+\infty[$.

Question 2

$u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$, $v(x)=x-1$, $v'(x)=1$, et $v>0$ sur $]1\,;+\infty[$.

$g'(x)=\dfrac{2(x-1)-(2x+1)\times1}{(x-1)^2}=\dfrac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}$

Pour tout $x>1$, $(x-1)^2>0$, donc $g'(x)<0$.

✅ $g$ est strictement décroissante sur $]1\,;+\infty[$.

Question 1

Le signe de $f'$ donne les variations, et les valeurs de $f$ donnent les images.

$x$	$-3$		$-1$		$2$		$4$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-2$	↗	$3$	↘	$-1$	↗	$2$

✅ $f$ est croissante sur $[-3\,;-1]$, décroissante sur $[-1\,;2]$ et croissante sur $[2\,;4]$.

Question 2

✅ Maximum local $f(-1)=3$ et minimum local $f(2)=-1$.

On compare avec les bornes : $f(-3)=-2$ et $f(4)=2$.

✅ Le maximum de $f$ sur $[-3\,;4]$ est $3$ (en $-1$) et son minimum est $-2$ (en $-3$).

Question 3

$f(x)=0$ : $0$ est compris entre $-2$ et $3$ sur $[-3\,;-1]$, entre $3$ et $-1$ sur $[-1\,;2]$, entre $-1$ et $2$ sur $[2\,;4]$ : une solution par intervalle.

✅ $f(x)=0$ a $3$ solutions.

$f(x)=3$ : $3$ est le maximum de $f$, atteint seulement en $x=-1$ (sur $[2\,;4]$, $f$ ne dépasse pas $2$).

✅ $f(x)=3$ a $1$ solution.

$f(x)=-2$ : $-2$ est le minimum de $f$, atteint seulement en $x=-3$ (sur les autres intervalles, $f\ge-1$).

✅ $f(x)=-2$ a $1$ solution.

Affirmation 1

Contre-exemple : $f(x)=x^3$ a $f'(0)=0$, mais est strictement croissante sur $\R$ : pas d'extremum en $0$. Il faut que $f'$ change de signe.

❌ Faux.

Affirmation 2

C'est le théorème du cours : $f'>0$ sur $I$ donne $f$ strictement croissante sur $I$.

✅ Vrai.

Affirmation 3

Contre-exemple : $f(x)=x^3$ est strictement croissante sur $\R$, mais $f'(0)=0$. On a seulement $f'\ge0$.

❌ Faux.

Affirmation 4

$f'(x)=2ax+b$ s'annule en $x=-\dfrac b{2a}$ et change de signe en ce point (car $a\neq0$) : il y a un extremum (un minimum si $a>0$, un maximum si $a<0$).

✅ Vrai.

Question 1

a) $f$ est définie sur $\R$ et $f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2+1=x^4-3x^2+1=f(x)$.

✅ $f$ est paire.

b) $g$ est définie sur $\R$ et $g(-x)=-x^3-x=-g(x)$.

✅ $g$ est impaire.

c) $h$ est définie sur $\R$, $h(1)=2$ et $h(-1)=0$ : $h(-1)\neq h(1)$ et $h(-1)\neq-h(1)$.

✅ $h$ n'est ni paire ni impaire.

d) $k$ est définie sur $\R^*$ (ensemble symétrique) et $k(-x)=\dfrac1{-x}=-k(x)$.

✅ $k$ est impaire.

e) $m$ est définie sur $[0\,;+\infty[$, qui n'est pas symétrique par rapport à $0$ : $m(-1)$ n'existe pas.

✅ $m$ n'est ni paire ni impaire.

Question 2

Une fonction impaire a des variations de même sens de part et d'autre de $0$ et vérifie $p(-x)=-p(x)$ : $p(-2)=-4$, $p(-5)=-1$ et $p(0)=0$. Sur $[-5\,;-2]$, $p$ décroît (comme sur $[2\,;5]$) ; sur $[-2\,;0]$ elle croît de $-4$ à $0$.

$x$	$-5$		$-2$		$2$		$5$
$p$	$-1$	↘	$-4$	↗	$4$	↘	$1$

✅ $p$ est décroissante sur $[-5\,;-2]$, croissante sur $[-2\,;2]$ (avec $p(0)=0$) et décroissante sur $[2\,;5]$.

Question 3

Une fonction paire a des variations contraires de part et d'autre de $0$ et vérifie $q(-x)=q(x)$ : $q(-5)=1$, $q(-2)=4$, $q(0)=0$.

$x$	$-5$		$-2$		$0$		$2$		$5$
$q$	$1$	↗	$4$	↘	$0$	↗	$4$	↘	$1$

✅ $q$ est croissante sur $[-5\,;-2]$, décroissante sur $[-2\,;0]$, croissante sur $[0\,;2]$ et décroissante sur $[2\,;5]$.

Question 1

La courbe descend de $x=-2{,}5$ jusqu'au point $(-2\,;-3)$, monte jusqu'au point $(0\,;1)$, descend jusqu'au point $(2\,;-3)$ puis remonte. Aux bornes, $f(\pm2{,}5)\approx-1{,}7$.

$x$	$-2{,}5$		$-2$		$0$		$2$		$2{,}5$
$f$	$\approx-1{,}7$	↘	$-3$	↗	$1$	↘	$-3$	↗	$\approx-1{,}7$

Question 2

✅ Extremums locaux : $f(0)=1$ est un maximum local ; $f(-2)=-3$ et $f(2)=-3$ sont des minimums locaux.

Aux bornes, $f(\pm2{,}5)\approx-1{,}7$ : ces valeurs sont comprises entre $-3$ et $1$.

✅ Le maximum de $f$ sur $[-2{,}5\,;2{,}5]$ est $1$ (en $x=0$) et son minimum est $-3$ (en $x=-2$ et en $x=2$).

Question 3

En un extremum local intérieur, la tangente est horizontale : $f'(-2)=f'(0)=f'(2)=0$. Les tangentes passent par $(-2\,;-3)$, $(0\,;1)$ et $(2\,;-3)$.

✅ $f'(-2)=f'(0)=f'(2)=0$ ; tangentes : $y=-3$ (en $-2$ et en $2$) et $y=1$ (en $0$). Sur $]0\,;2[$, $f$ décroît donc $f'(x)<0$.

Question 4

On compte les points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale $y=k$.

✅ $f(x)=-2$ : $4$ solutions ; $f(x)=1$ : $1$ solution ($x=0$) ; $f(x)=-3$ : $2$ solutions ($x=\pm2$).

Question 5

La courbe semble symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : on conjecture que $f$ est paire. Preuve : $f(-x)=\dfrac{(-x)^4}4-2(-x)^2+1=\dfrac{x^4}4-2x^2+1=f(x)$.

$f'(x)=x^3-4x=x(x-2)(x+2)$ s'annule en $-2$, $0$ et $2$ en changeant de signe : on retrouve les trois extremums locaux.

✅ $f$ est paire : $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Question 1

$g$ décroît sur $[-3\,;-1]$, croît sur $[-1\,;2]$ et décroît sur $[2\,;3]$. En $-1$ et en $2$, il y a un extremum local intérieur : la tangente est horizontale.

$x$	$-3$		$-1$		$2$		$3$
$g'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$g$	$3$	↘	$-1$	↗	$4$	↘	$1$

✅ $g'<0$ sur $]-3\,;-1[$, $g'>0$ sur $]-1\,;2[$, $g'<0$ sur $]2\,;3[$ ; $g'(-1)=g'(2)=0$.

Question 2

On place les points $(-3\,;3)$, $(-1\,;-1)$, $(2\,;4)$ et $(3\,;1)$, on trace les tangentes horizontales $y=-1$ et $y=4$ aux points d'abscisses $-1$ et $2$, puis on relie les points en respectant les variations.

✅ Toute courbe qui respecte le tableau et les tangentes horizontales convient (la figure donne une allure possible).

Question 3

Si $g$ était paire, on aurait $g(-3)=g(3)$ ; or $g(-3)=3$ et $g(3)=1$. Si $g$ était impaire, on aurait $g(-3)=-g(3)=-1$ ; or $g(-3)=3$.

✅ $g$ n'est ni paire ni impaire.