Fiche 3 : équations, inéquations et modélisation

Question 1

La fonction exponentielle est strictement croissante : $e^a=e^b\iff a=b$.

$e^{2x}=e^{x+3}\iff 2x=x+3\iff x=3$.

✅ $S=\{3\}$.

Question 2

$1=e^0$, donc $e^{3x-1}=1\iff 3x-1=0$.

$3x=1$, soit $x=\dfrac{1}{3}$.

✅ $S=\left\{\dfrac{1}{3}\right\}$.

Question 3

$e^x=e^{-x}\iff x=-x\iff 2x=0$.

✅ $S=\{0\}$.

Question 4

$e^{x^2}=e^4\iff x^2=4$.

Les solutions de $x^2=4$ sont $-2$ et $2$.

✅ $S=\{-2\,;\,2\}$.

Question 1

La fonction exponentielle est strictement croissante : $e^a\geqslant e^b\iff a\geqslant b$.

$2x+1\geqslant 3\iff 2x\geqslant 2\iff x\geqslant 1$.

✅ $S=[1\,;\,+\infty[$.

Question 2

$e^{-x}<e^{2}\iff -x<2$.

On multiplie par $-1$ : on change le sens, $x>-2$.

✅ $S=]-2\,;\,+\infty[$.

Question 3

Pour tout réel $x$, $e^x>0>-5$.

✅ $S=\mathbb{R}$.

Question 4

$e=e^1$, donc $e^{x^2}\leqslant e^1\iff x^2\leqslant 1$.

$x^2\leqslant 1\iff -1\leqslant x\leqslant 1$.

✅ $S=[-1\,;\,1]$.

Question 1

On pose $X=e^x$. Comme $e^x>0$, on cherche $X>0$.

L'équation devient $X^2+X-2=0$.

Le discriminant est $\Delta=1^2-4\times1\times(-2)=9>0$.

Les racines sont $X_1=\dfrac{-1-3}{2}=-2$ et $X_2=\dfrac{-1+3}{2}=1$.

$X_1=-2<0$ est rejetée : $e^x=-2$ est impossible.

$X_2=1$ donne $e^x=1=e^0$, donc $x=0$.

✅ $S=\{0\}$.

Question 2

On pose $X=e^x>0$ : $X^2-(1+e)X+e=0$.

$\Delta=(1+e)^2-4e=1+2e+e^2-4e=(e-1)^2>0$.

$X_1=\dfrac{(1+e)-(e-1)}{2}=1$ et $X_2=\dfrac{(1+e)+(e-1)}{2}=e$.

Les deux sont strictement positives.

$e^x=1\iff x=0$ et $e^x=e\iff x=1$.

✅ $S=\{0\,;\,1\}$.

Question 1

$N(0)=500e^{0}=500\times 1=500$.

$N(5)=500e^{2}\approx 3695$.

✅ Population initiale : $500$ bactéries. Au bout de $5$ heures : environ $3\,695$ bactéries.

Question 2

$N'(t)=500\times0{,}4\,e^{0{,}4t}=200\,e^{0{,}4t}$.

Pour tout $t$, $e^{0{,}4t}>0$ : $N'(t)>0$.

✅ $N$ est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

Question 3

On continue tant que la population ne dépasse pas $10\,000$.

while 500 * exp(0.4 * t) <= 10000:

Question 4

On calcule $N(7)\approx 8222$ (pas encore $10\,000$) et $N(8)\approx 12266$ (plus de $10\,000$).

✅ Le script renvoie $8$ : la population dépasse $10\,000$ bactéries au bout de $8$ heures.

Question 1

$T(0)=20+60e^{0}=80$.

$T(10)=20+60e^{-1}\approx 42{,}1$.

✅ Température initiale : $80$ °C. Après $10$ minutes : environ $42{,}1$ °C.

Question 2

$T'(t)=60\times(-0{,}1)\,e^{-0{,}1t}=-6\,e^{-0{,}1t}$.

Pour tout $t$, $e^{-0{,}1t}>0$ : $T'(t)<0$.

✅ $T$ est strictement décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

Question 3

$60\,e^{-0{,}1t}>0$ pour tout $t$, donc $T(t)=20+60e^{-0{,}1t}>20$.

✅ Le café se rapproche de $20$ °C (la température de la pièce) sans jamais la dépasser par le bas.

Question 4

$T(17)\approx 30{,}96$ : encore au-dessus de $30$ °C.

$T(18)\approx 29{,}92$ : en dessous de $30$ °C.

$T$ est décroissante : à partir de $t=18$, la température reste sous $30$ °C.

✅ Le café passe sous $30$ °C au bout de $18$ minutes.

Affirmation 1

Une exponentielle est strictement positive : elle ne s'annule jamais.

❌ Faux.

Affirmation 2

La fonction exponentielle est strictement croissante : elle conserve l'ordre, donc $e^x<e^y\Rightarrow x<y$.

✅ Vrai.

Affirmation 3

$e^{2x}\geqslant 1=e^{0}\iff 2x\geqslant 0\iff x\geqslant 0$.

✅ Vrai.

Affirmation 4

Pour tout $x$, $e^{2x}>0$, $e^x>0$, donc $e^{2x}+e^x+1>1>0$ : jamais nul.

(Avec $X=e^x$ : $X^2+X+1$ a un discriminant $-3<0$.)

❌ Faux : aucune solution.

Question 1

$m(0)=80\,e^0=80$.

$m(10)=80\,e^{-0{,}5}\approx 48{,}5$.

✅ La masse initiale est $80$ g et il reste environ $48{,}5$ g au bout de $10$ h.

Question 2

$m'(t)=80\times(-0{,}05)\,e^{-0{,}05t}=-4\,e^{-0{,}05t}$.

✅ Comme $e^{-0{,}05t}>0$, $m'(t)<0$ : la fonction $m$ est strictement décroissante.

Question 3

Le script teste les entiers un par un. Les valeurs de $m$ autour du seuil sont $m(13)=80\,e^{-0{,}65}\approx41{,}8>40$ et $m(14)=80\,e^{-0{,}7}\approx39{,}7\leqslant40$.

✅ Le script affiche $14$ : au bout de $14$ heures, la masse est passée sous $40$ g.

Question 4

La masse vaut $41{,}8$ g à la 13e heure et $39{,}7$ g à la 14e : comme $m$ est décroissante, elle passe par $40$ g entre ces deux instants.

✅ La demi-vie est comprise entre $13$ et $14$ heures.

Question 1

$c(0)=50\,e^{0}=50$ et $c(5)=50\,e^{-1}\approx18{,}4$.

✅ Au départ $50$ g/L ; au bout de $5$ h, environ $18{,}4$ g/L.

Question 2

$c'(t)=50\times(-0{,}2)\,e^{-0{,}2t}=-0{,}2\times50\,e^{-0{,}2t}$.

✅ $c'(t)=-0{,}2\,c(t)$ : la concentration diminue à une vitesse proportionnelle à elle-même (plus elle est élevée, plus elle baisse vite).

Question 3

from math import exp

t = 0
while 50 * exp(-0.2 * t) >= 5:
    t = t + 1
print(t)   # affiche 12

On a $c(11)\approx5{,}54\geqslant5$ et $c(12)\approx4{,}54<5$.

✅ À partir de la 12e heure, la concentration est inférieure à $5$ g/L.

Question 4

$c_{n+1}=0{,}82\,c_n$ pour tout $n$ : la suite est géométrique de raison $0{,}82$, donc $c_n=50\times0{,}82^n$.

$c_5=50\times0{,}82^5\approx18{,}5$, à comparer à $c(5)\approx18{,}4$.

✅ Les deux modèles donnent presque la même valeur, car $e^{-0{,}2}\approx0{,}819$ est proche de la raison $0{,}82$ : $c(n)=50\,\big(e^{-0{,}2}\big)^n$ est lui aussi géométrique.

Question 1

$u_{n+1}=2000\times1{,}03^{n+1}=1{,}03\times u_n$ : la suite est géométrique de raison $1{,}03$ et de premier terme $u_0=2000$.

$u_{10}=2000\times1{,}03^{10}\approx2687{,}83$ et $C(10)=2000\,e^{0{,}3}\approx2699{,}72$.

✅ $u_{10}\approx2687{,}83$ € et $C(10)\approx2699{,}72$ €.

Question 2

$C(n+1)=2000\,e^{0{,}03(n+1)}=e^{0{,}03}\times2000\,e^{0{,}03n}=e^{0{,}03}\,C(n)$.

✅ $(C(n))$ est géométrique de raison $e^{0{,}03}\approx1{,}0305$ et de premier terme $C(0)=2000$.

Question 3

D'après l'inégalité $e^x\geqslant x+1$ avec $x=0{,}03$ : $e^{0{,}03}\geqslant1{,}03$.

Les deux nombres sont positifs, donc $\big(e^{0{,}03}\big)^n\geqslant1{,}03^n$ pour tout entier $n$.

En multipliant par $2000$ : $C(n)=2000\,\big(e^{0{,}03}\big)^n\geqslant2000\times1{,}03^n=u_n$.

✅ Pour tout entier naturel $n$, $C(n)\geqslant u_n$ : le modèle continu rapporte un peu plus que les intérêts composés annuels.

Question 4

from math import exp

n = 0
while 2000 * 1.03 ** n < 3000:
    n = n + 1
print(n)   # affiche 14

t = 0
while 2000 * exp(0.03 * t) < 3000:
    t = t + 1
print(t)   # affiche 14

Modèle A : $u_{13}\approx2937{,}1<3000$ et $u_{14}\approx3025{,}2\geqslant3000$. Modèle B : $C(13)\approx2954{,}0<3000$ et $C(14)\approx3043{,}9\geqslant3000$.

✅ Dans les deux modèles, le capital atteint $3000$ € au bout de $14$ ans.