Première Spé Maths / Chapitre 8 : Géométrie repérée

Fiche 1 : droites et vecteurs normaux

Dix exercices pour maîtriser les droites et les vecteurs normaux :

lire une équation cartésienne ;
droite définie par un point et un vecteur normal ;
droite passant par deux points ;
parallèle et perpendiculaire ;
médiatrice ;
vrai/faux ;
projeté orthogonal d'un point sur une droite (avec deux méthodes) ;
pourquoi $(a\,;\,b)$ est normal à $ax+by+c=0$ ;
un script Python.

Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend d'une bonne copie :

le vecteur normal ou directeur est écrit avant l'équation ;
le coefficient $c$ est calculé avec un point de la droite ;
chaque équation est vérifiée avec un point.

💡 Le modèle de rédaction pour une équation de droite

« $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(AB)$ , donc $\vec n\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal. $(AB) : 4x-3y+c=0$ . $A$ appartient à la droite : $c=\dots$ »

Calcule un vecteur directeur ou un vecteur normal.
Écris l'équation avec $c$ inconnu.
Calcule $c$ avec un point, puis vérifie avec un second point.

⚠️ Les pièges classiques

Confondre vecteur normal et vecteur directeur.
Se tromper de signe en calculant $c$ .
Oublier de vérifier avec le deuxième point.
Écrire que deux droites sont perpendiculaires alors que les vecteurs normaux sont colinéaires.

😄 Une équation de droite sans vérification, c'est un soufflé qu'on sert sans l'avoir regardé : parfois ça passe, souvent ça retombe.

Exercice 1 (★) : lire une équation cartésienne

Dans un repère orthonormé, la droite $d$ a pour équation $2x-3y+6=0$ .

1. Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de $d$ .

2. Les points $A(0\,;\,2)$ , $B(3\,;\,4)$ et $C(1\,;\,1)$ appartiennent-ils à $d$ ?

3. Donner l'équation réduite de $d$ .

✏️ Correction de l'exercice 1

Question 1

Pour $ax+by+c=0$ , $\vec n\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ est normal et $\vec u\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ est directeur.

✅ $\vec n\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal et $\vec u\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur.

Question 2

$A$ : $2\times0-3\times2+6=0$ . Donc $A\in d$ .

$B$ : $2\times3-3\times4+6=6-12+6=0$ . Donc $B\in d$ .

$C$ : $2\times1-3\times1+6=5\neq0$ . Donc $C\notin d$ .

✅ $A\in d$ , $B\in d$ et $C\notin d$ .

Question 3

$2x-3y+6=0\iff3y=2x+6\iff y=\dfrac23x+2$ .

✅ $d : y=\dfrac23x+2$ .

Exercice 2 (★) : un point et un vecteur normal

Dans un repère orthonormé, $A(1\,;\,2)$ et $\vec n\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$ .

1. Déterminer une équation de la droite $d$ passant par $A$ de vecteur normal $\vec n$ .

2. Le point $B(2\,;\,5)$ est-il sur $d$ ?

3. Donner un vecteur directeur de $d$ .

✏️ Correction de l'exercice 2

Question 1

$M(x\,;\,y)\in d\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0$ avec $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-1\\y-2\end{pmatrix}$ .

$3(x-1)-(y-2)=0\iff3x-3-y+2=0$ .

✅ $d : 3x-y-1=0$ .

Question 2

$3\times2-5-1=0$ . Donc $B\in d$ .

✅ Oui, $B$ appartient à $d$ .

Question 3

Pour $ax+by+c=0$ , $\vec u\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ ; ici $a=3$ et $b=-1$ .

✅ $\vec u\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d$ . (On vérifie : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ .)

Exercice 3 (★★) : une droite par deux points

Dans un repère orthonormé, $A(2\,;\,-1)$ et $B(5\,;\,3)$ .

1. Calculer $\overrightarrow{AB}$ et en déduire un vecteur normal à $(AB)$ .

2. Déterminer une équation cartésienne de $(AB)$ .

3. Vérifier avec les coordonnées de $B$ puis donner l'équation réduite.

✏️ Correction de l'exercice 3

Question 1

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5-2\\3-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ .

✅ $\vec n\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}$ est normal à $(AB)$ , car $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=4\times3-3\times4=0$ .

Question 2

$M(x\,;\,y)\in(AB)\iff4(x-2)-3(y+1)=0\iff4x-8-3y-3=0$ .

✅ $(AB) : 4x-3y-11=0$ .

Question 3

$B$ : $4\times5-3\times3-11=20-9-11=0$ . C'est cohérent.

$4x-3y-11=0\iff y=\dfrac43x-\dfrac{11}{3}$ .

✅ $(AB) : y=\dfrac43x-\dfrac{11}{3}$ .

Exercice 4 (★★) : parallèle et perpendiculaire

Dans un repère orthonormé, $d : 3x+2y-6=0$ et $P(1\,;\,1)$ .

1. Déterminer une équation de la droite $\Delta$ parallèle à $d$ passant par $P$ .

2. Déterminer une équation de la droite $\Delta'$ perpendiculaire à $d$ passant par $P$ .

3. Calculer les coordonnées du point d'intersection de $d$ et $\Delta'$ .

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

$\Delta\parallel d$ : même vecteur normal $\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ , donc $\Delta : 3x+2y+c=0$ .

$P\in\Delta$ : $3+2+c=0\iff c=-5$ .

✅ $\Delta : 3x+2y-5=0$ .

Question 2

$\Delta'\perp d$ : le vecteur normal de $d$ est un vecteur directeur de $\Delta'$ , donc $\Delta'$ a pour vecteur normal $\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$ (orthogonal à $\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ ).

$\Delta' : 2x-3y+c=0$ et $P\in\Delta'$ : $2-3+c=0\iff c=1$ .

✅ $\Delta' : 2x-3y+1=0$ .

Question 3

On résout $\begin{cases}3x+2y=6\\2x-3y=-1\end{cases}$ . En multipliant par $3$ et $2$ : $9x+6y=18$ et $4x-6y=-2$ .

On additionne : $13x=16$ , donc $x=\dfrac{16}{13}$ . Puis $y=\dfrac{6-3x}{2}=\dfrac{6-\frac{48}{13}}{2}=\dfrac{15}{13}$ .

✅ Le point d'intersection est $\left(\dfrac{16}{13}\,;\,\dfrac{15}{13}\right)$ .

Exercice 5 (★★) : médiatrice

Dans un repère orthonormé, $A(1\,;\,2)$ et $B(5\,;\,4)$ .

1. Calculer le milieu $I$ de $[AB]$ et $\overrightarrow{AB}$ .

2. En déduire une équation de la médiatrice de $[AB]$ .

3. Vérifier que le point $M(4\,;\,1)$ est équidistant de $A$ et $B$ .

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

$I\left(\dfrac{1+5}{2}\,;\,\dfrac{2+4}{2}\right)=(3\,;\,3)$ et $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ .

✅ $I(3\,;\,3)$ et $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ .

Question 2

La médiatrice passe par $I$ et a pour vecteur normal $\overrightarrow{AB}$ : $4(x-3)+2(y-3)=0\iff4x+2y-18=0$ .

✅ La médiatrice est la droite $2x+y-9=0$ .

Question 3

$2\times4+1-9=0$ donc $M$ est sur la médiatrice.

$MA^2=(4-1)^2+(1-2)^2=9+1=10$ et $MB^2=(4-5)^2+(1-4)^2=1+9=10$ .

✅ $MA=MB=\sqrt{10}$ : $M$ est bien équidistant de $A$ et $B$ .

Exercice 6 (★★) : vrai ou faux

Justifier chaque réponse :

1. Une droite a une seule équation cartésienne.

2. Les droites $2x+3y+1=0$ et $4x+6y-5=0$ sont parallèles.

3. Les droites $2x+3y+1=0$ et $3x-2y+5=0$ sont perpendiculaires.

4. Un vecteur normal à la droite $y=2x+1$ est $\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$ .

✏️ Correction de l'exercice 6

Affirmation 1

On peut multiplier l'équation par un réel non nul : $x+y-2=0$ et $2x+2y-4=0$ décrivent la même droite.

❌ Faux.

Affirmation 2

Vecteurs normaux $\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$ : colinéaires ( $2\times6-3\times4=0$ ).

✅ Vrai.

Affirmation 3

$2\times3+3\times(-2)=0$ : les vecteurs normaux sont orthogonaux.

✅ Vrai.

Affirmation 4

$y=2x+1\iff2x-y+1=0$ : un vecteur normal est $\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$ .

✅ Vrai.

Exercice 7 (★★) : projeté orthogonal

Dans un repère orthonormé, $d : 3x+4y-20=0$ et $M(0\,;\,0)$ .

1. Donner un vecteur normal à $d$ puis écrire les coordonnées de $H=M+t\,\vec n$ .

2. Déterminer $t$ puis les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$ .

3. En déduire la distance de $M$ à $d$ .

✏️ Correction de l'exercice 7

Question 1

Un vecteur normal est $\vec n(3\,;\,4)$ .

✅ $H(3t\,;\,4t)$ .

Question 2

$H\in d\iff3\times3t+4\times4t-20=0\iff25t=20\iff t=\dfrac45$ .

✅ $H\left(\dfrac{12}5\,;\,\dfrac{16}5\right)=(2{,}4\,;\,3{,}2)$ .

Question 3

$MH=\sqrt{2{,}4^2+3{,}2^2}=\sqrt{5{,}76+10{,}24}=\sqrt{16}$ .

✅ La distance de $M$ à $d$ vaut $4$ .

Exercice 8 (★★) : projeté orthogonal, deux méthodes

Dans un repère orthonormé, $d : 2x+y-3=0$ et $M(-1\,;\,4)$ .

1. Déterminer une équation de la perpendiculaire $\Delta$ à $d$ passant par $M$ .

2. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$ .

3. Retrouver $H$ avec la méthode $H=M+t\,\vec n$ , puis calculer la distance $MH$ .

4. Déterminer le symétrique $M'$ de $M$ par rapport à $d$ .

✏️ Correction de l'exercice 8

Question 1

Le vecteur $\vec n\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ est normal à $d$ , donc directeur de $\Delta$ . Un vecteur normal à $\Delta$ est $\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ (car $2\times1+1\times(-2)=0$ ).

$\Delta : x-2y+c=0$ et $M\in\Delta$ : $-1-8+c=0\iff c=9$ .

✅ $\Delta : x-2y+9=0$ .

Question 2

$H$ est le point d'intersection de $d$ et $\Delta$ : $\begin{cases}2x+y=3\\x-2y=-9\end{cases}$ .

La seconde équation donne $x=2y-9$ . Dans la première : $2(2y-9)+y=3\iff5y=21\iff y=\dfrac{21}5$ , puis $x=\dfrac{42}5-9=-\dfrac35$ .

✅ $H\left(-\dfrac35\,;\,\dfrac{21}5\right)$ . On vérifie : $2\times\left(-\dfrac35\right)+\dfrac{21}5-3=0$ .

Question 3

$H(-1+2t\,;\,4+t)\in d\iff2(-1+2t)+4+t-3=0\iff5t=1\iff t=\dfrac15$ .

On retrouve $H\left(-1+\dfrac25\,;\,4+\dfrac15\right)=\left(-\dfrac35\,;\,\dfrac{21}5\right)$ . Comme $\overrightarrow{MH}=t\,\vec n$ , $MH=\dfrac15\|\vec n\|=\dfrac{\sqrt5}5\approx0{,}45$ .

✅ $MH=\dfrac{\sqrt5}5$ .

Question 4

$H$ est le milieu de $[MM']$ , donc $M'=2H-M=\left(-\dfrac65+1\,;\,\dfrac{42}5-4\right)$ .

✅ $M'\left(-\dfrac15\,;\,\dfrac{22}5\right)$ . Le milieu de $[MM']$ est bien $H$ .

Exercice 9 (★★★) : pourquoi $(a\,;\,b)$ est normal

Dans un repère orthonormé, $d : 3x-2y+5=0$ .

1. Vérifier que $A(1\,;\,4)$ et $B(3\,;\,7)$ sont sur $d$ , puis que $\vec n\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ .

2. Soit $d' : ax+by+c=0$ et $A(x_A\,;\,y_A)$ , $B(x_B\,;\,y_B)$ deux points distincts de $d'$ . Démontrer que $\vec n(a\,;\,b)$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ .

3. En déduire une équation de la parallèle à $d$ passant par $O$ , puis de la perpendiculaire à $d$ passant par $O$ .

✏️ Correction de l'exercice 9

Question 1

$A$ : $3\times1-2\times4+5=0$ . $B$ : $3\times3-2\times7+5=0$ . Donc $A\in d$ et $B\in d$ .

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=3\times2+(-2)\times3=0$ .

✅ $\vec n$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ .

Question 2

Comme $A\in d'$ et $B\in d'$ : $ax_A+by_A+c=0$ et $ax_B+by_B+c=0$ .

On soustrait : $a(x_B-x_A)+b(y_B-y_A)=0$ , c'est-à-dire $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0$ .

✅ Le vecteur non nul $\vec n(a\,;\,b)$ est orthogonal à tout vecteur $\overrightarrow{AB}$ de $d'$ : c'est un vecteur normal de $d'$ .

Question 3

La parallèle a le même vecteur normal $\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$ : $3x-2y+c=0$ , et $O$ donne $c=0$ .

La perpendiculaire a pour vecteur normal $\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ (orthogonal à $\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$ car $6-6=0$ ) : $2x+3y+c=0$ , et $O$ donne $c=0$ .

✅ Parallèle : $3x-2y=0$ . Perpendiculaire : $2x+3y=0$ .

Exercice 10 (★★) : un script pour le projeté orthogonal

On considère le script Python suivant :
def projete(xM, yM, a, b, c):
    # projeté orthogonal de M sur la droite ax + by + c = 0
    t = -(a * xM + b * yM + c) / (a**2 + b**2)
    return round(xM + t * a, 6), round(yM + t * b, 6)
1. Justifier que projete(xM, yM, a, b, c) renvoie le projeté orthogonal de $M(x_M\,;\,y_M)$ sur la droite $ax+by+c=0$ .

2. Que renvoie projete(0, 0, 3, 4, -20) ? Comparer avec l'exercice 7.

3. Que renvoie projete(-1, 4, 2, 1, -3) ? Comparer avec l'exercice 8.

✏️ Correction de l'exercice 10

Question 1

Le point $H=M+t\,\vec n$ a pour coordonnées $(x_M+ta\,;\,y_M+tb)$ . Il est sur la droite si et seulement si $a(x_M+ta)+b(y_M+tb)+c=0$ , c'est-à-dire $t\,(a^2+b^2)=-(ax_M+by_M+c)$ .

Comme $(a\,;\,b)\neq(0\,;\,0)$ , $a^2+b^2\neq0$ et on peut diviser : c'est la ligne t = .... Le vecteur $\overrightarrow{MH}=t\,\vec n$ est colinéaire à $\vec n$ : $H$ est le projeté orthogonal.

Question 2

Ici $t=-\dfrac{-20}{25}=0{,}8$ , donc $H(0+0{,}8\times3\,;\,0+0{,}8\times4)$ .

✅ Le script affiche (2.4, 3.2), c'est le résultat de l'exercice 7.

Question 3

Ici $t=-\dfrac{2\times(-1)+4-3}{5}=\dfrac15$ , donc $H\left(-1+\dfrac25\,;\,4+\dfrac15\right)$ .

✅ Le script affiche (-0.6, 4.2), c'est $\left(-\dfrac35\,;\,\dfrac{21}5\right)$ de l'exercice 8.

🎯 Ce qui peut tomber en contrôle

Lire un vecteur normal ou directeur (exercice 1).
Écrire l'équation d'une droite (exercices 2 et 3).
Parallèle et perpendiculaire à une droite donnée (exercice 4).
Médiatrice d'un segment (exercice 5).
Projeté orthogonal d'un point sur une droite (exercices 7, 8 et 10).
Justifier qu'un vecteur est normal à une droite (exercice 9).

QCM : vérifie tes acquis

6 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 6

Un vecteur normal à la droite $3x-4y+7=0$ est :

Question 2 sur 6

Un vecteur directeur de $x+2y-5=0$ est :

Question 3 sur 6

La droite passant par $A(1\,;\,2)$ de vecteur normal $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ a pour équation :

Question 4 sur 6

$2x+y-1=0$ et $x-2y+3=0$ sont :

Question 5 sur 6

Un point $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$ si et seulement si :

Question 6 sur 6

Le projeté orthogonal $H$ d'un point $M$ sur une droite $d$ de vecteur normal $\vec n$ est le point de $d$ tel que :

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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Fiche 1 : droites et vecteurs normaux

Exercice 1 (★) : lire une équation cartésienne

Exercice 2 (★) : un point et un vecteur normal

Exercice 3 (★★) : une droite par deux points

Exercice 4 (★★) : parallèle et perpendiculaire

Exercice 5 (★★) : médiatrice

Exercice 6 (★★) : vrai ou faux

Exercice 7 (★★) : projeté orthogonal

Exercice 8 (★★) : projeté orthogonal, deux méthodes

Exercice 9 (★★★) : pourquoi (a ; b)(a\,;\,b)(a;b) est normal

Exercice 10 (★★) : un script pour le projeté orthogonal

QCM : vérifie tes acquis

Exercice 9 (★★★) : pourquoi $(a\,;\,b)$ est normal