Guide de rédaction : variations et courbes représentatives

🎯 Le principe du chapitre

Dans une étude de fonction, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• le domaine et la dérivabilité justifiés ;
• la dérivée factorisée ;
• le signe de $f'$ justifié (racines, signe de $a$, signe des facteurs) ;
• le tableau de variations avec les images ;
• la conclusion : variations, extremums, et en contexte l'unité.

Situation 1 : étudier le signe d'une dérivée du second degré.

« $f'(x)=3(x+1)(x-3)$.

Le trinôme $x^2-2x-3$ a pour racines $-1$ et $3$ et un coefficient $a=1>0$ : il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

Donc $f'>0$ sur $]-\infty\,;-1[$, $f'<0$ sur $]-1\,;3[$ et $f'>0$ sur $]3\,;+\infty[$. »

Situation 2 : dresser un tableau de variations.

« Voir le tableau : $f$ est strictement croissante sur $[-2\,;-1]$, strictement décroissante sur $[-1\,;3]$, strictement croissante sur $[3\,;4]$, avec $f(-2)=0$, $f(-1)=7$, $f(3)=-25$ et $f(4)=-18$. »

💡 Écris les images, pas seulement les flèches.

Situation 3 : montrer qu'une fonction est strictement monotone sur $\R$.

« $f'(x)=3x^2+3$. Pour tout réel $x$, $x^2\ge0$, donc $f'(x)\ge3>0$. Donc $f$ est strictement croissante sur $\R$. »

Situation 4 : trouver les extremums locaux.

« $f'$ s'annule en $-1$ en passant de $+$ à $-$ : $f(-1)=7$ est un maximum local. $f'$ s'annule en $3$ en passant de $-$ à $+$ : $f(3)=-25$ est un minimum local. »

Situation 5 : montrer que $f'(a)=0$ ne donne pas d'extremum.

« $g'(x)=3(x-1)^2$ s'annule en $1$ mais reste positive de part et d'autre : $g'$ ne change pas de signe. Donc $g$ n'a pas d'extremum en $1$. »

Situation 6 : donner l'extremum sur un intervalle fermé.

« Les extremums locaux sont $f(-1)=7$ et $f(3)=-25$. Les valeurs aux bornes sont $f(-2)=0$ et $f(4)=-18$. Donc le maximum de $f$ sur $[-2\,;4]$ est $7$ et son minimum est $-25$. »

⚠️ Compare toujours avec les bornes.

Situation 7 : lire le nombre de solutions de $f(x)=k$ dans un tableau (propriété admise).

« Sur $[0\,;1]$, $f$ croît de $1$ à $5$ ; sur $[1\,;3]$, elle décroît de $5$ à $1$ ; sur $[3\,;5]$, elle croît de $1$ à $21$. La valeur $3$ est atteinte une fois sur chaque intervalle : l'équation $f(x)=3$ a $3$ solutions. »

Situation 8 : résoudre $f(x)=0$ avec une racine évidente.

« $f(-2)=0$, donc $f(x)=(x+2)(x^2-5x+1)$. Le discriminant de $x^2-5x+1$ vaut $21$. Les solutions sont $-2$ et $\dfrac{5\pm\sqrt{21}}2$. »

Situation 9 : étudier la position d'une courbe par rapport à une droite.

« $f(x)-(-2)=(x-1)^2(x+2)$. Sur $[-2\,;2]$, $x+2\ge0$ et $(x-1)^2\ge0$, donc $f(x)\ge-2$. La courbe est au-dessus de la droite, avec deux points communs, en $x=-2$ et en $x=1$. »

💡 On factorise la différence : c'est ce qui rend le signe lisible.

Situation 10 : démontrer une inégalité par les variations.

« $f(x)=x+\dfrac9x$ est décroissante sur $]0\,;3]$ et croissante sur $[3\,;+\infty[$. Son minimum est $f(3)=6$. Donc, pour tout $x>0$, $x+\dfrac9x\ge6$. »

Situation 11 : déterminer des paramètres avec un extremum.

« $f'(x)=3ax^2+b$. Un extremum en $1$ impose $f'(1)=0$, soit $3a+b=0$. De plus $f(1)=-2$, soit $a+b=-2$. On obtient $a=1$ et $b=-3$. »

💡 Vérifie avec les valeurs trouvées que $f'$ change bien de signe.

Situation 12 : résoudre un problème d'optimisation.

« Soit $x$ le côté découpé, en cm. Les longueurs sont strictement positives : $x\in]0\,;7{,}5[$ ; on étudie la formule de $V$ sur $[0\,;7{,}5]$ (boîte plate aux bornes). Le volume est $V(x)=x(24-2x)(15-2x)$ et $V'(x)=12(x-3)(x-10)$. Le volume est maximal pour $x=3$ cm : il vaut $486$ cm³. »

⚠️ Conclus avec $x$, la grandeur et l'unité.

Situation 13 : dériver un quotient et justifier son signe.

« $f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$. Le dénominateur est strictement positif : $f'$ est du signe de $1-x^2$, positif entre $-1$ et $1$. »

Situation 14 : interpréter un extremum.

« Le coût moyen $M$ est minimal pour $q=20$ objets : il vaut alors $30$ € par objet. »

💡 Écris une phrase, avec la quantité et l'unité.

Situation 15 : montrer qu'une fonction est paire ou impaire.

« Le domaine $\R$ est symétrique par rapport à $0$. $f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2=x^4-2x^2=f(x)$ pour tout $x$ : $f$ est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. »

💡 Vérifie d'abord que le domaine est symétrique, puis calcule $f(-x)$ pour tout $x$.

Situation 16 : étudier un trinôme.

« $f(x)=2x^2-8x+3$ avec $a=2>0$ : $f$ décroît puis croît. $f'(x)=4x-8=4(x-2)$. Le minimum est $f(2)=-5$, atteint en $x=2$. Le sommet de la parabole est $S(2\,;-5)$. »

Situation 17 : appliquer la méthode de Newton.

« $f(x)=x^2-3$ et $f'(x)=2x$, donc $x_{n+1}=x_n-\dfrac{x_n^2-3}{2x_n}$. Avec $x_0=2$ : $x_1=\dfrac74$ puis $x_2=\dfrac{97}{56}\approx1{,}7321$. »

⚠️ Vérifie que $f'(x_n)\neq0$ et que $x_0$ est proche de la solution (cas favorable).

a) Le signe de la dérivée.

❌ « $f(x)>0$ donc $f$ est croissante. »

✅ « $f'(x)>0$ sur $I$, donc $f$ est strictement croissante sur $I$. »

La première étudie le signe de $f$, pas celui de $f'$.

b) Un extremum.

❌ « $f'(a)=0$ donc $f$ a un extremum en $a$. »

✅ « $f'$ s'annule en $a$ en passant de $+$ à $-$, donc $f(a)$ est un maximum local. »

La première est fausse pour $f(x)=x^3$ en $0$.

c) Un tableau de variations.

❌ Un tableau avec seulement des flèches ↗ et ↘.

✅ Un tableau avec les images : $f(-2)=0$, $f(-1)=7$, $f(3)=-25$, $f(4)=-18$.

Sans les images, on ne peut ni lire un extremum ni compter les solutions.

d) Une conclusion d'optimisation.

❌ « $x=3$. »

✅ « Le volume est maximal pour $x=3$ cm : la boîte mesure $18$ cm sur $9$ cm sur $3$ cm et son volume est $486$ cm³. »

La première ne dit ni ce que $x$ représente, ni la valeur optimale, ni l'unité.

• J'ai précisé le domaine et justifié la dérivabilité.
• J'ai factorisé la dérivée et justifié son signe.
• J'ai écrit les images dans le tableau de variations.
• Pour un extremum, j'ai vérifié que $f'$ change de signe et comparé avec les bornes.
• Pour $f(x)=k$, j'ai raisonné intervalle par intervalle.
• Pour un problème, j'ai nommé la variable, vérifié le domaine et conclu avec l'unité.
• Pour la parité, j'ai vérifié le domaine puis calculé $f(-x)$.

😄 Un tableau de variations sans images, c'est une carte routière sans noms de villes : on voit que ça monte et que ça descend, mais on ne sait pas où.