Première Spé Maths / Chapitre 1 : Second degré

Second degré : le cours

Le second degré, c'est l'art de comprendre une parabole : où elle passe, où elle monte et où elle redescend, où elle coupe l'axe des abscisses. On y retrouve la courbe d'un ballon lancé en l'air, l'aire maximale d'un enclos, le bénéfice maximal d'une entreprise.

Ce chapitre est un excellent entraînement à la rédaction : le discriminant, les racines et la conclusion s'écrivent toujours de la même façon.

Dans tout le cours, tu verras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

1. Les trois formes d'une fonction polynôme du second degré

Une fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ ($a\neq0$) est une fonction polynôme du second degré. Sa courbe est une parabole.

• Forme développée : $f(x)=ax^2+bx+c$. Elle donne $f(0)=c$.
• Forme canonique : $f(x)=a\,(x-\alpha)^2+\beta$. Elle donne le sommet $S(\alpha\,;\beta)$.
• Forme factorisée : $f(x)=a\,(x-x_1)(x-x_2)$. Elle donne les racines $x_1$ et $x_2$ (quand elles existent).

Chaque forme répond mieux à certaines questions : on apprend plus loin à choisir la forme adaptée (partie 9).

2. Forme canonique et complétion du carré

Toute fonction polynôme du second degré admet une forme canonique $a\,(x-\alpha)^2+\beta$ : la démonstration générale est donnée en fin de cours. Dans les cas simples, on la détermine par la complétion du carré, à l'aide de l'identité suivante.

Exemples.

• $x^2+6x+1=(x+3)^2-9+1=(x+3)^2-8$ (ici $2p=6$, donc $p=3$).
• $x^2-4x+7=(x-2)^2-4+7=(x-2)^2+3$.
• $x^2+5x+1=\left(x+\dfrac52\right)^2-\dfrac{25}4+1=\left(x+\dfrac52\right)^2-\dfrac{21}4$.
• Si $a\neq1$, on factorise d'abord par $a$ les termes en $x^2$ et en $x$ : $2x^2-12x+7=2\,(x^2-6x)+7=2\left[(x-3)^2-9\right]+7=2\,(x-3)^2-11$.

Le sommet se lit alors sur la forme canonique : $S(\alpha\,;\beta)$. Ici $S(3\,;-11)$ pour $2x^2-12x+7$.

3. Le discriminant et les racines

Le discriminant de $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

Pourquoi ? Avec la forme canonique : $ax^2+bx+c=0\iff\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2=\dfrac\Delta{4a^2}$. Un carré ne peut valoir qu'un nombre positif ou nul : le signe de $\Delta$ décide (démonstration complète en fin de cours).

4. Somme et produit des racines

Si $\Delta>0$ (ou $\Delta=0$ en comptant la racine double deux fois), $ax^2+bx+c=a\,(x-x_1)(x-x_2)$. En développant le second membre, on obtient $ax^2-a(x_1+x_2)\,x+a\,x_1x_2$. En identifiant avec $ax^2+bx+c$ :

Exemple. Pour $2x^2-7x+5$ : $2-7+5=0$, donc $1$ est racine, et l'autre racine est $\dfrac ca=\dfrac52$.

5. Factorisation

• Si $\Delta>0$ : $ax^2+bx+c=a\,(x-x_1)(x-x_2)$.
• Si $\Delta=0$ : $ax^2+bx+c=a\,(x-x_0)^2$.
• Si $\Delta<0$ : la fonction ne se factorise pas dans $\R$.

Réciproquement, si $x_1\neq x_2$ sont deux réels, les fonctions polynômes du second degré qui s'annulent en $x_1$ et en $x_2$ sont exactement les fonctions $x\mapsto a\,(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\neq0$. Une condition supplémentaire (une valeur, l'ordonnée du sommet...) fixe le réel $a$.

Diversifie les stratégies. Avant de calculer $\Delta$, regarde si une factorisation directe est possible :

6. Signe d'une fonction polynôme du second degré

D'abord, sans $\Delta$ : la forme factorisée. Si $f(x)=a\,(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1<x_2$, le signe se lit sur un tableau de signes. Chaque facteur $x-x_i$ est un terme du premier degré : il est négatif avant $x_i$, nul en $x_i$, positif après.

Il reste à multiplier par $a$ : si $a<0$, tous les signes de la dernière ligne sont changés.

Si les facteurs sont écrits $(mx+p)$, on cherche la racine $-\dfrac pm$ de chaque facteur et on garde le signe de $m$ après cette racine. Par exemple, $(2x-1)(3-x)$ s'annule en $\dfrac12$ et en $3$, et le coefficient de $x^2$ vaut $2\times(-1)=-2<0$ : l'expression est positive entre $\dfrac12$ et $3$.

Ensuite, avec $\Delta$ : la forme développée.

Le signe permet de résoudre les inéquations : on cherche les racines, on repère le signe de $a$, on lit le résultat sur un tableau de signes ou sur un croquis de la parabole.

7. Variations et sommet

Lis la forme canonique $f(x)=a\,(x-\alpha)^2+\beta$. La fonction $x\mapsto(x-\alpha)^2$ est décroissante sur $]-\infty\,;\alpha]$ et croissante sur $[\alpha\,;+\infty[$ (c'est la fonction carré, translatée). Multiplier par $a>0$ conserve le sens de variation, multiplier par $a<0$ l'inverse, et ajouter $\beta$ ne le change pas. La parabole est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\alpha$.

• Si $a>0$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\alpha]$, croissante sur $[\alpha\,;+\infty[$. Elle admet un minimum $\beta$ atteint en $\alpha$ (parabole tournée vers le haut).
• Si $a<0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\alpha]$, décroissante sur $[\alpha\,;+\infty[$. Elle admet un maximum $\beta$ atteint en $\alpha$ (parabole tournée vers le bas).

8. Équations qui se ramènent au second degré

Le programme propose des problèmes variés, notamment d'origine géométrique, qui se ramènent à une équation du second degré. La démarche est toujours la même :

1. choisir l'inconnue et préciser les valeurs qu'elle peut prendre (une longueur est positive) ;
2. traduire l'énoncé par une équation ;
3. tout passer dans un membre, développer, réduire, pour obtenir $ax^2+bx+c=0$ ;
4. résoudre (factorisation directe ou $\Delta$) ;
5. ne garder que les solutions qui ont un sens dans le problème, puis conclure par une phrase.

Exemple 1. Un rectangle a un côté de $3$ cm de plus que l'autre et une aire de $40$ cm². On note $x$ le plus petit côté, en cm, avec $x>0$. Alors $x(x+3)=40$, soit $x^2+3x-40=0$. $\Delta=9+160=169=13^2>0$, donc $x=\dfrac{-3-13}2=-8$ ou $x=\dfrac{-3+13}2=5$. Comme $x>0$, seule $x=5$ convient : le rectangle mesure $5$ cm sur $8$ cm.

Exemple 2. $(x-2)^2=3x-2\iff x^2-4x+4=3x-2\iff x^2-7x+6=0\iff(x-1)(x-6)=0$ (somme $7$, produit $6$). $S=\{1\,;6\}$.

9. Choisir la forme adaptée

Une même fonction s'écrit sous trois formes. Prenons $f(x)=2x^2-4x-6$. On vérifie que

Le bon réflexe : regarde la question avant de choisir la forme, puis passe d'une forme à l'autre si besoin (développer, factoriser, compléter le carré).

10. Le second degré, terrain d'essai pour des notions générales

Les fonctions polynômes du second degré servent à illustrer, sur des calculs simples, des notions que tu retrouveras dans toute l'analyse.

Taux de variation. Pour $u\neq v$, le taux de variation de $f$ entre $u$ et $v$ est $\dfrac{f(v)-f(u)}{v-u}$. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ :

Son signe donne le sens de variation. Par exemple, si $a>0$ et $\alpha\le u<v$, alors $u+v>2\alpha=-\dfrac ba$, donc $a(u+v)+b>0$ : $f$ est croissante sur $[\alpha\,;+\infty[$.

Fonction dérivée (un avant-goût du chapitre 3). Prenons $v=u+h$ avec $h\neq0$ : le taux de variation vaut $2au+b+ah$. Quand $h$ devient très proche de $0$, il se rapproche de $2au+b$. Cette valeur est le nombre dérivé de $f$ en $u$. On en déduit la fonction dérivée :

Elle s'annule en $x=-\dfrac b{2a}$, l'abscisse du sommet, et son signe donne les variations de $f$. Pour $f(x)=x^2-4x+3$ : $f'(x)=2x-4$, qui s'annule en $2$, négative avant et positive après, ce qui retrouve le minimum en $x=2$.

Lien avec la variance (statistique et probabilités). Pour une série $x_1,\dots,x_n$ de moyenne $\bar x$ et de variance $V=\dfrac1n\sum(x_i-\bar x)^2$, la fonction $g(t)=\dfrac1n\sum(x_i-t)^2$ est une fonction polynôme du second degré en $t$. En écrivant $x_i-t=(x_i-\bar x)+(\bar x-t)$ et en utilisant $\sum(x_i-\bar x)=0$, on obtient

C'est une forme canonique : $g$ est minimale en $t=\bar x$, et son minimum est la variance $V$. (Application dans la fiche 3.)

11. Vocabulaire et logique du chapitre

• Identité, équation. $(x+1)^2=x^2+2x+1$ est vraie pour tout réel $x$ : c'est une identité. $x^2+2x+1=4$ n'est vraie que pour certaines valeurs : c'est une équation, $x$ est l'inconnue et on cherche l'ensemble $S$ de ses solutions.
• Variable, inconnue, paramètre. Dans $f(x)=ax^2+bx+c$, $x$ est la variable. Dans $x^2-mx+4=0$, $x$ est l'inconnue et $m$ un paramètre : un réel fixé mais quelconque, dont dépend le nombre de solutions.
• Équivalence. « $\Delta<0$ » $\iff$ « l'équation n'a aucune solution réelle ». Un raisonnement par disjonction des cas : $\Delta>0$, $\Delta=0$ ou $\Delta<0$.
• Implication, condition suffisante, condition nécessaire. « Si $ac<0$, alors $\Delta>0$ » : $ac<0$ est une condition suffisante pour avoir deux racines, mais pas nécessaire. La réciproque « si $\Delta>0$, alors $ac<0$ » est fausse : contre-exemple $x^2+3x+1$, avec $\Delta=5>0$ et $ac=1>0$. La contraposée de l'implication de départ est « si $\Delta\le0$, alors $ac\ge0$ » : elle est vraie.
• Quantificateurs. « Pour tout réel $x$, $x^2+2x+5>0$ » est vraie. Sa négation est « il existe un réel $x$ tel que $x^2+2x+5\le0$ » : elle est fausse. Le « pour tout » est souvent implicite : « le produit de deux nombres négatifs est positif » signifie « pour tous réels négatifs ... ».
• Connecteurs et ensembles. $(x-1)(x+2)=0\iff x=1$ ou $x=-2$. Une inéquation a pour solution une réunion ou une intersection d'intervalles : $]-\infty\,;-1]\cup[4\,;+\infty[$, ou $[-1\,;4]\cap[0\,;10]=[0\,;4]$. Le complémentaire de $]-1\,;4[$ dans $\R$ est $]-\infty\,;-1]\cup[4\,;+\infty[$.

12. Un peu d'histoire : Diophante et Al-Khwârizmî

La formule du discriminant est l'aboutissement d'un long cheminement. On trouve chez Diophante, puis chez Al-Khwârizmî, des méthodes de résolution des équations du second degré. Le travail novateur d'Al-Khwârizmî reste en partie tributaire de la tradition : il utilise des considérations géométriques équivalentes à la forme canonique, et il est limité par l'état alors embryonnaire de la notation algébrique et par l'absence des nombres négatifs. Les méthodes actuelles sont un aboutissement de ce cheminement vers un formalisme efficace et concis.

Une méthode géométrique, dans cet esprit. Cherchons le nombre positif $x$ tel que $x^2+6x=16$. On dessine un carré de côté $x$, et on lui accole deux rectangles de dimensions $x$ et $3$ (ce sont les $6x$ en deux moitiés). Pour obtenir un grand carré, il manque un petit carré de côté $3$, d'aire $9$.

Le grand carré a pour côté $x+3$ et pour aire $16+9=25$. Donc $x+3=5$ et $x=2$. C'est exactement l'identité $x^2+6x=(x+3)^2-9$ de la complétion du carré, avec $p=3$. Cette méthode ne trouve que la solution positive : l'autre solution, $-8$, n'avait aucun sens dans un monde sans nombres négatifs.

Du texte au programme. Pour $x^2+px=q$ avec $p>0$ et $q>0$, la méthode se traduit en un algorithme : calculer $q+\left(\dfrac p2\right)^2$ (l'aire du grand carré), en prendre la racine carrée (son côté), puis retrancher $\dfrac p2$. Voir la partie 13 et l'exercice 8 de la fiche 3.

13. Python

from math import sqrt

def racines(a, b, c):
    """Renvoie la liste des solutions réelles de ax² + bx + c = 0."""
    delta = b*b - 4*a*c
    if delta > 0:
        return [(-b - sqrt(delta))/(2*a), (-b + sqrt(delta))/(2*a)]
    if delta == 0:
        return [-b/(2*a)]
    return []

solutions = [x for x in range(-10, 11) if x*x - 3*x - 4 <= 0]
print(solutions)   # [-1, 0, 1, 2, 3, 4]
for x in solutions:
    print(x, x*x - 3*x - 4)

from math import sqrt

def solution_positive(p, q):
    """Solution positive de x² + p x = q (p > 0 et q > 0)."""
    grand_carre = q + (p/2)**2     # aire du grand carré
    return sqrt(grand_carre) - p/2 # côté du grand carré, moins p/2

14. Les 10 pépites du chapitre

Démonstration au programme : résolution de l'équation du second degré

Le programme officiel demande de savoir démontrer les formules de résolution. La preuve tient en trois étapes : la forme canonique (calculée ici dans le cas général, ce qui n'est pas un attendu pour une fonction donnée), puis un cas par signe de $\Delta$.

Position du graphe de $x\mapsto f(x-m)$

La forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ se lit comme une translation. C'est le lien entre la courbe de $x\mapsto x^2$ que tu connais et toutes les paraboles.

Exemple. $g(x)=(x-2)^2+1$ est la courbe de $x\mapsto x^2$ translatée de $2$ vers la droite et de $1$ vers le haut : son sommet est $S(2\,;\,1)$.

15. Ce qui peut tomber en contrôle

• Des formes canoniques (complétion du carré), factorisations (directes ou avec $\Delta$) et signes, avec sommet et variations (fiche 1).
• Des équations et inéquations du second degré (fiche 2).
• Des problèmes concrets (aire maximale, trajectoire, bénéfice), le choix de la forme adaptée et des paramètres (fiche 3 et exercices de synthèse).

Tu as maintenant le cours. Passe aux trois fiches, aux exercices de synthèse, puis au Guide de rédaction du chapitre.