Guide de rédaction : variables aléatoires

🎯 Le principe du chapitre

Dans un exercice sur une variable aléatoire, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• la variable définie avec son unité et ses valeurs ;
• la loi écrite en tableau, somme vérifiée ;
• la formule citée (espérance, König-Huygens, linéarité) ;
• le calcul avec les valeurs substituées ;
• l'interprétation par une phrase.

Situation 1 : définir la variable aléatoire et ses valeurs

« Soit $X$ le gain algébrique du joueur, en euros. L'univers est $\Omega=\{1\,;\dots;6\}$ et $X(\omega)=-1$ si $\omega\leqslant3$, $1$ si $\omega\in\{4\,;5\}$ et $4$ si $\omega=6$. $X$ prend les valeurs $-1$, $1$ et $4$. »

⚠️ Écris l'unité, l'univers et les valeurs possibles.

Situation 2 : traduire une phrase en symboles

« La probabilité que le gain soit au plus égal à $1$ € s'écrit $P(X\leqslant1)=P(X=-1)+P(X=1)=\dfrac56$. »

« Au plus » : $\leqslant$. « Au moins » : $\geqslant$. « Strictement » : $<$ ou $>$.

Situation 3 : écrire la loi et vérifier la somme

« La loi de $X$ est donnée par le tableau suivant. Vérification : $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac16=1$. »

Situation 4 : obtenir la loi à partir d'un arbre

« Les tirs sont indépendants : on multiplie le long d'un chemin. Deux chemins réalisent $\{X=1\}$ : $P(X=1)=0{,}7\times0{,}3+0{,}3\times0{,}7=0{,}42$. »

Pour construire l'arbre, voir la rédaction du chapitre 9.

Situation 5 : calculer l'espérance

« $E(X)=\sum x_ip_i=-1\times\dfrac12+1\times\dfrac13+4\times\dfrac16=\dfrac12$. »

Situation 6 : interpréter l'espérance

« En moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur gagne $0{,}50$ € par partie. »

⚠️ L'espérance n'est pas le résultat d'une seule partie.

Situation 7 : étudier un jeu équitable et la mise

« Soit $R$ la somme reçue. $E(R)=2{,}5$ €. Le gain algébrique est $G=R-m$, d'espérance $E(R)-m$. Le jeu est équitable si $E(G)=0$, donc pour $m=2{,}5$ €. »

Situation 8 : utiliser la linéarité de l'espérance

« $G=2D-5$. Par linéarité de l'espérance, $E(G)=2E(D)-5=2\times3{,}5-5=2$. »

Cite la propriété : $E(aX+b)=aE(X)+b$.

Situation 9 : calculer la variance avec König-Huygens

« $E(X^2)=\dfrac72$. D'après la formule de König-Huygens, $V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\dfrac72-\dfrac14=\dfrac{13}4$. »

Situation 10 : donner et interpréter l'écart type

« $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\dfrac{\sqrt{13}}2\approx1{,}80$ €. Les gains s'écartent en moyenne d'environ $1{,}80$ € de leur espérance. »

Situation 11 : trouver une loi avec paramètres

« La somme vaut $1$ : $a+b=0{,}6$. L'espérance vaut $1{,}5$ : $a+2b=0{,}9$. On soustrait : $b=0{,}3$, puis $a=0{,}3$. Vérification : la somme des probabilités vaut bien $1$. »

Situation 12 : comparer deux dispersions

« Les deux jeux ont la même espérance, $10$ €. Comme $\sigma(X_B)\approx3{,}54<\sigma(X_A)=10$, les gains du jeu $B$ sont moins dispersés : le jeu $B$ est moins risqué. »

Situation 13 : rédiger la démonstration de König-Huygens

« Soit $\mu=E(X)$. $V(X)=\sum p_i(x_i-\mu)^2=\sum p_ix_i^2-2\mu\sum p_ix_i+\mu^2\sum p_i$. Or $\sum p_ix_i^2=E(X^2)$, $\sum p_ix_i=\mu$ et $\sum p_i=1$. Donc $V(X)=E(X^2)-2\mu^2+\mu^2=E(X^2)-\mu^2$. »

La démonstration de $E(aX+b)=aE(X)+b$ se rédige de même : $\sum(ax_i+b)p_i=a\sum x_ip_i+b\sum p_i$.

Situation 14 : écrire et commenter une simulation

« moyenne(n) simule $n$ gains et renvoie leur moyenne $m$. Pour $n=100$, on a obtenu $m=0{,}7$ : l'écart avec $\mu=0{,}5$ est $0{,}2$. Lors de plusieurs exécutions, $m$ varie ; on observe qu'elle est en général plus proche de $\mu$ quand $n$ augmente. »

Parle d'observation, jamais de preuve.

✅ Check-list avant de rendre la copie

• J'ai défini $X$ avec son unité et ses valeurs.
• J'ai vérifié que la somme vaut $1$.
• J'ai cité la formule utilisée.
• J'ai interprété le résultat avec l'unité.
• Pour une simulation, j'ai parlé d'observation et non de preuve.

😄 Un correcteur qui voit « $E(X)=0{,}5$ » avec la formule citée et la phrase d'interprétation sourit. Sans la phrase, il se demande si $0{,}5$ est un prix, un âge ou une température.