Fiche 1 : généralités et sens de variation

Question 1

$u_0=1$

$u_1=2-3+1=0$

$u_2=8-6+1=3$

$u_3=18-9+1=10$

Question 2

$v_1=2\times3-1=5$

$v_2=2\times5-1=9$

$v_3=2\times9-1=17$

Question 3

$w_1=w_0+2\times0=1$

$w_2=w_1+2\times1=3$

$w_3=w_2+2\times2=7$

$w_4=w_3+2\times3=13$

Question 1

Pour tout $n\in\N$ : $u_{n+1}-u_n=3(n+1)+2-(3n+2)=3>0$.

✅ La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Question 2

Pour tout $n\in\N$ : $v_{n+1}-v_n=\dfrac2{n+2}-\dfrac2{n+1}=\dfrac{2(n+1)-2(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{-2}{(n+1)(n+2)}$. Le numérateur est négatif et le dénominateur est strictement positif.

✅ La suite $(v_n)$ est strictement décroissante.

Question 3

Pour tout $n\in\N$ : $w_{n+1}-w_n=(n+1)^2-6(n+1)-\left(n^2-6n\right)=n^2+2n+1-6n-6-n^2+6n=2n-5$.

$2n-5<0$ pour $n\le2$ et $2n-5>0$ pour $n\ge3$. Les premiers termes sont $0$, $-5$, $-8$, $-9$, $-8$, $-5$, $0$.

✅ La suite $(w_n)$ est strictement décroissante jusqu'au rang $3$, puis strictement croissante : elle n'est pas monotone.

Les termes de $(u_n)$ et de $(v_n)$ sont strictement positifs.

La suite $(u_n)$

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{5\times1{,}2^{n+1}}{5\times1{,}2^n}=1{,}2>1$.

✅ $(u_n)$ est strictement croissante.

La suite $(v_n)$

$\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{4/3^{n+1}}{4/3^n}=\dfrac{3^n}{3^{n+1}}=\dfrac13<1$.

✅ $(v_n)$ est strictement décroissante.

Question 1

$u_1=1$, $u_2=3$, $u_3=7$, $u_4=13$ (exercice 1, question 3).

Question 2

Pour tout $n\in\N$ : $u_{n+1}-u_n=2n\ge0$.

✅ La suite $(u_n)$ est croissante. (Elle est même strictement croissante à partir du rang $1$ : $u_1=u_0$ mais $u_2>u_1$.)

Question 3

Les points ne sont pas alignés : ils montent de plus en plus vite, car les écarts $u_{n+1}-u_n=2n$ valent $0$, $2$, $4$, $6$. La suite n'est donc pas arithmétique.

On voit bien sur le nuage de points le sens de variation trouvé à la question 2 : les points ne descendent jamais.

Question 1

n = 0
while 2*n**2 - 3*n + 1 <= 100:
    n = n + 1
print(n)

Question 2

Le script affiche 8.

Vérification : $u_7=98-21+1=78\le100$ et $u_8=128-24+1=105>100$ ✓

Affirmation 1

Le sens de variation se démontre pour tout $n$, pas sur quelques termes. Contre-exemple : $u_n=-(n-3)^2$ donne $u_0=-9<u_1=-4<u_2=-1<u_3=0$, mais $u_4=-1<u_3$ : la suite n'est pas croissante.

❌ Faux.

Affirmation 2

$u_{n+1}-u_n=-3<0$ pour tout $n$ : la suite est strictement décroissante.

✅ Vrai.

Affirmation 3

$u_0=1$, $u_1=-1$, $u_2=1$ : elle alterne. Elle n'est ni croissante ni décroissante.

❌ Faux.

Question 1

$u_1=0{,}5\times0+3=3$.

$u_2=0{,}5\times3+3=4{,}5$.

$u_3=0{,}5\times4{,}5+3=5{,}25$ et $u_4=0{,}5\times5{,}25+3=5{,}625$.

✅ $u_1=3$, $u_2=4{,}5$, $u_3=5{,}25$ et $u_4=5{,}625$.

Question 2

Les termes augmentent, mais de moins en moins : l'écart à $6$ est divisé par $2$ à chaque étape ($6-3=3$, $6-4{,}5=1{,}5$, $6-5{,}25=0{,}75$).

✅ On conjecture que la suite tend vers $6$.

Question 3

On répète $15$ fois le calcul de la relation de récurrence :

u = 0
for k in range(1, 16):
    u = 0.5 * u + 3
print(u)

Le script affiche environ $5{,}9998$.

✅ $u_{15}\approx5{,}9998$ : cela confirme la conjecture $6$.

Question 1

On compte lignes $\times$ colonnes : $r_1=1\times2=2$, $r_2=2\times3=6$, $r_3=3\times4=12$, $r_4=4\times5=20$.

✅ $r_1=2$, $r_2=6$, $r_3=12$ et $r_4=20$.

Question 2

De la figure $n$ à la figure $n+1$, on ajoute une colonne de $n$ jetons et une ligne de $n+2$ jetons, soit $n+(n+2)=2n+2$ jetons.

✅ $r_{n+1}=r_n+2(n+1)$. Vérification : $r_2=2+4=6$ et $r_3=6+6=12$.

Question 3

La figure $n$ est un rectangle de $n$ lignes et $n+1$ colonnes, donc $r_n=n(n+1)$.

Les écarts valent $r_2-r_1=4$ et $r_3-r_2=6$ : ils ne sont pas constants. Les quotients valent $\dfrac{6}{2}=3$ et $\dfrac{12}{6}=2$ : ils ne sont pas constants non plus.

✅ $r_n=n(n+1)$, et la suite n'est ni arithmétique ni géométrique. (Les deux couleurs montrent que $r_n$ est le double du nombre triangulaire $T_n$.)

Question 4

Avec $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ personnes : $p_1=0$, $p_2=1$, $p_3=3$, $p_4=6$, $p_5=10$.

La nouvelle personne serre la main des $n$ personnes déjà présentes : $p_{n+1}=p_n+n$.

On additionne les écarts $p_{k+1}-p_k=k$ pour $k$ de $1$ à $n-1$ : $p_n-p_1=1+2+\dots+(n-1)=\dfrac{(n-1)n}2$, et $p_1=0$.

✅ $p_n=\dfrac{n(n-1)}2$, donc $p_{30}=\dfrac{30\times29}2=435$.

Question 1

On lit $v_0=6$, $v_1\approx4{,}8$ et $v_2\approx3{,}8$.

Question 2

Les points descendent quand $n$ augmente, mais de moins en moins vite, et se rapprochent de l'axe des abscisses.

✅ On conjecture que la suite est décroissante et que sa limite est $0$.

Question 3

$\dfrac{v_1}{v_0}\approx\dfrac{4{,}8}{6}=0{,}8$ et $\dfrac{v_2}{v_1}\approx\dfrac{3{,}8}{4{,}8}\approx0{,}8$. Le rapport est constant : $q=0{,}8$.

Avec $v_0=6$ : $v_n=6\times0{,}8^n$. Alors $v_7=6\times0{,}8^7\approx1{,}26$, ce qui correspond au dernier point du graphique.

✅ $v_n=6\times0{,}8^n$ et $v_7\approx1{,}26$.

Question 4

Multiplier par $0{,}8=1-\dfrac{20}{100}$ revient à une baisse de $20\,\%$.

✅ Chaque terme est égal à $80\,\%$ du précédent : $v_{n+1}=0{,}8\,v_n$ (baisse de $20\,\%$ à chaque étape).

Question 1

$u_1-u_0=0$, $u_2-u_1=2$, $u_3-u_2=4$, et plus généralement $u_{k+1}-u_k=2k$.

En additionnant pour $k$ de $0$ à $n-1$, les termes intermédiaires se simplifient : $u_n-u_0=2\,(0+1+2+\dots+(n-1))=2\times\dfrac{(n-1)n}2=n(n-1)$.

✅ $u_n=1+n(n-1)=n^2-n+1$.

Question 2

$u_4=16-4+1=13$, ce qui est bien la valeur trouvée à l'exercice 4. Puis $u_{20}=400-20+1=381$.

Question 3

$u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-(n+1)+1-\left(n^2-n+1\right)=n^2+2n+1-n-1+1-n^2+n-1=2n\geqslant0$.

✅ On retrouve $u_{n+1}-u_n=2n\geqslant0$ : la suite est croissante.

Question 1

$u_1=\dfrac12\left(1+\dfrac21\right)=\dfrac32=1{,}5$.

$u_2=\dfrac12\left(\dfrac32+\dfrac43\right)=\dfrac12\times\dfrac{17}6=\dfrac{17}{12}\approx1{,}4167$.

$u_3=\dfrac12\left(\dfrac{17}{12}+\dfrac{24}{17}\right)=\dfrac12\times\dfrac{577}{204}=\dfrac{577}{408}\approx1{,}414216$.

Question 2

u = 1
L = [u]
for k in range(5):
    u = (u + 2 / u) / 2
    L.append(u)
print(L)

Le script affiche une liste dont les derniers termes valent environ $1{,}4142135624$. Les termes se stabilisent très vite.

✅ On conjecture que la limite est $\sqrt2\approx1{,}41421356$.

Question 3

$u_3^2=\left(\dfrac{577}{408}\right)^2\approx2{,}000006$.

✅ $u_3^2$ est très proche de $2$ : $u_3$ est déjà une très bonne valeur approchée de $\sqrt2$.