Première Spé Maths / Chapitre 9 : Probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilités conditionnelles et indépendance : le cours

Un test médical est positif : quelle est la probabilité d'être vraiment malade ? Beaucoup de gens répondent « presque 100 % ». La vraie réponse est souvent bien plus faible, et ce chapitre t'apprend à la calculer.

Tu vas manipuler des probabilités conditionnelles, des arbres pondérés, la formule des probabilités totales, la notion d'indépendance, la succession d'épreuves indépendantes et les épreuves de Bernoulli (arbres de $2$ à $4$ épreuves).

Dans tout le cours, tu verras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

1. Probabilité conditionnelle

Pour comprendre : savoir que $A$ est réalisé, c'est restreindre l'univers à $A$. On regarde alors la part de $B$ dans $A$.

Exemple (tableau croisé). Dans un lycée de $200$ élèves, on note $F$ « l'élève est une fille » et $D$ « l'élève est demi-pensionnaire ».

On lit : $P(F\cap D)=\dfrac{60}{200}=0{,}3$ et $P(F)=\dfrac{120}{200}=0{,}6$. Donc

Parmi les filles, la moitié est demi-pensionnaire. Parmi les demi-pensionnaires, les deux tiers sont des filles. Ce ne sont pas les mêmes nombres.

2. Arbres pondérés

Un arbre pondéré représente une succession d'étapes. Sur chaque branche, on écrit une probabilité (conditionnelle à ce qui précède).

Exemple. Une usine possède deux machines. La machine $A$ produit $60\,\%$ des pièces, la machine $B$ en produit $40\,\%$. Une pièce de $A$ est défectueuse avec la probabilité $0{,}02$, une pièce de $B$ avec la probabilité $0{,}05$. On choisit une pièce au hasard et on note $D$ « la pièce est défectueuse ».

Le chemin $A\to D$ a pour probabilité $0{,}6\times0{,}02=0{,}012$. La lecture des quatre chemins donne la loi du couple (machine, état de la pièce).

3. Partition et formule des probabilités totales

Démonstration (cas $\{A\,;\,\overline{A}\}$). On a $B=(A\cap B)\cup(\overline{A}\cap B)$ et ces deux événements sont incompatibles. Donc

Exemple. Dans l'usine :

Autrement dit, $3{,}2\,\%$ des pièces sont défectueuses. Sur l'arbre, c'est la somme des chemins qui aboutissent à $D$.

Exemple avec trois événements. Trois fournisseurs $A_1$, $A_2$, $A_3$ livrent $50\,\%$, $30\,\%$ et $20\,\%$ des pièces, avec des taux de défaut de $1\,\%$, $2\,\%$ et $5\,\%$.

4. Inverser le conditionnement

On connaît souvent $P_A(B)$ et on cherche $P_B(A)$ : c'est l'inversion du conditionnement. On utilise la définition deux fois :

Exemple. On a trouvé une pièce défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine $A$ ?

Alors que $A$ produit $60\,\%$ des pièces, elle ne produit que $37{,}5\,\%$ des pièces défectueuses : la machine $B$ est plus souvent en cause.

5. Événements indépendants

Exemple. On lance un dé équilibré. $A$ : « le résultat est pair » ; $B$ : « le résultat est multiple de $3$ ».

Donc $A$ et $B$ sont indépendants. En revanche, avec $C$ : « le résultat est au moins $4$ », on a $A\cap C=\{4\,;\,6\}$ et $P(A\cap C)=\dfrac13\neq\dfrac12\times\dfrac12$ : $A$ et $C$ ne sont pas indépendants.

Démonstration. $P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)\,[1-P(A)]=P(\overline{A})\,P(B)$.

6. Succession de deux épreuves indépendantes

Beaucoup d'expériences se font en deux temps : on lance un dé puis une pièce, on tire une boule puis on lance un dé. Les deux épreuves sont indépendantes quand le résultat de la première n'influence en rien la seconde. Comme pour deux événements, c'est une hypothèse du modèle : elle vient de l'analyse de la situation (deux objets lancés séparément), pas de l'arbre.

Exemple : deux épreuves de natures différentes. On lance un dé équilibré, puis, indépendamment, une pièce truquée qui donne pile avec la probabilité $\dfrac35$. On note $M$ : « le dé donne un multiple de $3$ », donc $P(M)=\dfrac26=\dfrac13$, et $A$ : « la pièce donne pile ».

La même situation se présente dans un tableau à double entrée : les probabilités de la première épreuve sont en marge à gauche, celles de la seconde en marge en haut, et chaque case est le produit de ses deux marges.

On lit par exemple $P(M\cap A)=\dfrac15$. Pour « le dé donne un multiple de $3$ ou la pièce donne pile » : $P(M\cup A)=\dfrac13+\dfrac35-\dfrac15=\dfrac{11}{15}$, ce que confirme la somme des trois cases concernées, $\dfrac15+\dfrac2{15}+\dfrac25=\dfrac{11}{15}$.

Exemple : deux épreuves de même nature. Pour deux lancers d'un dé équilibré, les $36$ couples $(a\,;\,b)$ sont équiprobables, chacun de probabilité $\dfrac16\times\dfrac16=\dfrac1{36}$. Le tableau donne la somme de chaque couple :

La somme $7$ apparaît $6$ fois : $P(\text{somme}=7)=\dfrac6{36}=\dfrac16$.

7. Épreuves de Bernoulli répétées (n ⩽ 4)

Pour répéter une épreuve de Bernoulli, il faut deux ingrédients à ne pas mélanger.

Les deux notions sont donc distinctes : un dé suivi d'une pièce donne des épreuves indépendantes mais pas identiques, et il n'y a pas de $p^k\,q^{\,n-k}$. Dans un tirage sans remise, la probabilité d'obtenir rouge au deuxième tirage est bien la même qu'au premier (voir l'exercice 5 de la fiche 1), mais les tirages ne sont pas indépendants, et l'arbre change de poids d'une branche à l'autre.

Avec deux épreuves, l'arbre a quatre chemins : $P(SS)=p^2$, $P(S\overline{S})=P(\overline{S}S)=pq$ et $P(\overline{S}\,\overline{S})=q^2$. Avec trois épreuves :

D'après le §6, la probabilité d'un chemin est le produit de ses branches : un chemin contenant $k$ succès et $n-k$ échecs a pour probabilité $p^k\,q^{\,n-k}$, quel que soit l'ordre des succès. Avec quatre épreuves, l'arbre a $2^4=16$ chemins :

Compter les chemins à $k$ succès

La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent. Pour « exactement $k$ succès », tous les chemins concernés ont la même probabilité $p^k\,q^{\,n-k}$ et sont deux à deux incompatibles. Il reste donc à compter ces chemins :

Pour $n=4$ et $k=2$, on écrit tous les chemins, en notant $\overline{S}$ l'échec : $SS\overline{S}\,\overline{S}$, $S\overline{S}S\overline{S}$, $S\overline{S}\,\overline{S}S$, $\overline{S}SS\overline{S}$, $\overline{S}S\overline{S}S$, $\overline{S}\,\overline{S}SS$. Il y en a six, ce sont les chemins marqués ✓ ci-dessous.

Exemple. Avec $p=0{,}3$ et $q=0{,}7$. Pour $n=3$ : $P(SSS)=0{,}3^3=0{,}027$ et $P(\text{exactement deux succès})=3\times0{,}3^2\times0{,}7=0{,}189$. Pour $n=4$, voici la probabilité de chaque nombre de succès :

On vérifie : $0{,}2401+0{,}4116+0{,}2646+0{,}0756+0{,}0081=1$. Pour « au moins deux succès », la somme des trois dernières colonnes donne $0{,}2646+0{,}0756+0{,}0081=0{,}3483$, ou, par le contraire, $1-0{,}2401-0{,}4116=0{,}3483$.

Exemple avec une urne. Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ boules bleues. On tire $3$ boules avec remise ; le succès est « la boule est rouge », $p=\dfrac25$ à chaque tirage. Alors $P(\text{au moins une rouge})=1-\left(\dfrac35\right)^3=\dfrac{98}{125}$. Sans remise, on ne peut plus utiliser ce schéma : $P(\text{aucune rouge})=\dfrac35\times\dfrac24\times\dfrac13=\dfrac1{10}$ et $P(\text{au moins une rouge})=\dfrac9{10}$.

8. Simulation avec Python : la méthode de Monte-Carlo

Quand un calcul exact est difficile, on simule l'expérience un grand nombre de fois et on regarde la fréquence du résultat. C'est la méthode de Monte-Carlo.

Exemple : estimer l'aire sous la parabole $y=x^2$ sur $[0\,;\,1]$. On tire au hasard un point $(x\,;\,y)$ dans le carré $[0\,;\,1]^2$. La probabilité qu'il soit sous la courbe est égale à l'aire cherchée.

from random import random

def monte_carlo(n):
    dessous = 0
    for _ in range(n):
        x, y = random(), random()
        if y <= x ** 2:
            dessous += 1
    return dessous / n

print(monte_carlo(100000))

Le résultat varie d'une exécution à l'autre mais reste proche de $0{,}333$, valeur exacte $\dfrac13$ (tu le démontreras en Terminale avec les intégrales). Pour estimer $\pi$, on remplace la condition par x**2 + y**2 <= 1 : la fréquence tend vers $\dfrac\pi4$ (aire du quart de disque), et 4 * dessous / n approche $\pi$.

Autre exemple : simuler un schéma de Bernoulli. Pour vérifier le calcul du §7 ($n=4$, $p=0{,}3$, $P( ext{exactement deux succès})=0{,}2646$), on répète $4$ épreuves de succès $0{,}3$ et on compte les expériences qui donnent exactement deux succès :

from random import random

def deux_succes(N):
    cas = 0
    for _ in range(N):
        succes = 0
        for _ in range(4):
            if random() < 0.3:
                succes += 1
        if succes == 2:
            cas += 1
    return cas / N

print(deux_succes(100000))

La fréquence obtenue est proche de $0{,}2646$ (par exemple $0{,}26$ ou $0{,}27$), sans jamais être exactement égale à cette valeur : c'est une estimation, le calcul par l'arbre est exact.

Tu as maintenant le cours. Passe aux trois fiches, aux exercices de synthèse, puis au Guide de rédaction du chapitre.