Première Spé Maths / Chapitre 9 : Probabilités conditionnelles et indépendance

Guide de rédaction : probabilités conditionnelles et indépendance

Ce guide complète le Guide de rédaction général. Il rassemble, pour le chapitre Probabilités conditionnelles et indépendance, les quatorze situations qui reviennent en contrôle et, pour chacune, la rédaction modèle. Dans ce chapitre, la rédaction consiste surtout à nommer les événements, à citer la formule utilisée et à conclure avec une phrase.

🎯 Le principe du chapitre

Dans un exercice de probabilités, un correcteur regarde surtout cinq choses :

les événements nommés avec des lettres ;
l'arbre (ou le tableau), avec des branches de somme $1$ ;
la formule citée (conditionnelle, probabilités totales, indépendance) ;
le calcul détaillé, avec les valeurs substituées ;
la conclusion : une phrase qui répond à la question posée.

1. Les quatorze situations et leur rédaction modèle

Situation 1 : poser les événements

« On note $A$ l'événement « la pièce vient de la machine $A$ » et $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ». »

⚠️ Écris les événements avant les calculs.

Situation 2 : traduire une phrase en probabilité

« Parmi les pièces de $A$ , $2\,\%$ sont défectueuses » se traduit par $P_A(D)=0{,}02$ . « Et » se traduit par une intersection. »

⚠️ Distingue $P(A\cap D)$ , $P_A(D)$ et $P_D(A)$ : le dénominateur est l'événement après « sachant que » ou « parmi ».

Situation 3 : lire un tableau croisé

« $P_F(T)=\dfrac{60}{140}$ : on divise l'effectif de $F\cap T$ par l'effectif de $F$ . »

Situation 4 : construire un arbre pondéré et calculer un chemin

« Je dessine l'arbre dans l'ordre chronologique. La somme des branches issues de chaque nœud vaut $1$ . »

« $P(A\cap D)=P(A)\times P_A(D)=0{,}6\times0{,}02=0{,}012$ . »

Situation 5 : probabilités totales (deux, trois événements)

« $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, $P(D)=P(A\cap D)+P(\overline{A}\cap D)=0{,}012+0{,}020=0{,}032$ . »

Avec trois événements : « $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ sont deux à deux incompatibles et $0{,}5+0{,}3+0{,}2=1$ : ils forment une partition. $P(D)=P(A_1)\,P_{A_1}(D)+P(A_2)\,P_{A_2}(D)+P(A_3)\,P_{A_3}(D)$ . »

Situation 6 : inverser le conditionnement

« On cherche $P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0{,}012}{0{,}032}=\dfrac38$ . »

Interprète : « une pièce défectueuse vient de $A$ avec la probabilité $\dfrac38$ ».

⚠️ Pas besoin de citer une « formule de Bayes » : la définition de la probabilité conditionnelle et les probabilités totales suffisent.

Situation 7 : tirages sans remise

« Après un premier tirage rouge, il reste $4$ rouges sur $7$ boules : $P_{R_1}(R_2)=\dfrac47$ . Les tirages ne sont pas indépendants. »

Situation 8 : prouver l'indépendance

« $P(A\cap B)=\dfrac16$ et $P(A)\,P(B)=\dfrac12\times\dfrac13=\dfrac16$ . Donc $A$ et $B$ sont indépendants. »

Situation 9 : réfuter l'indépendance

« $P(A\cap C)=\dfrac13$ alors que $P(A)\,P(C)=\dfrac14$ . Les deux valeurs sont différentes : $A$ et $C$ ne sont pas indépendants. »

Situation 10 : succession de deux épreuves indépendantes

« Le dé et la pièce sont lancés séparément : les deux épreuves sont indépendantes, donc $P_M(A)=P(A)=\dfrac35$ . La probabilité du chemin $M\to A$ est $P(M\cap A)=P(M)\times P(A)=\dfrac13\times\dfrac35=\dfrac15$ . »

Dans le tableau à double entrée : « chaque case est le produit de ses deux marges, et les quatre cases ont pour somme $1$ ». Pour trois ou quatre épreuves : « $A_1\cap A_2$ est lié aux deux premières épreuves, donc indépendant de $A_3$ : $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)\,P(A_2)\,P(A_3)$ . »

Situation 11 : justifier un schéma de Bernoulli

« Chaque tir a deux issues (réussi ou raté). Les tirs sont indépendants (énoncé). La probabilité de réussir est la même, $p=0{,}7$ , à chaque tir. On répète donc $3$ fois de façon identique et indépendante la même épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0{,}7$ . »

⚠️ Avec des probabilités qui changent d'une épreuve à l'autre (deux tirs de distances différentes), les épreuves sont indépendantes mais pas identiques : on multiplie le long des chemins, sans $p^kq^{n-k}$ .

Situation 12 : « exactement $k$ succès » (chemins comptés)

« On répète $4$ fois de façon indépendante la même épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0{,}3$ . Les chemins à exactement deux succès sont $SS\overline{S}\,\overline{S}$ , $S\overline{S}S\overline{S}$ , $S\overline{S}\,\overline{S}S$ , $\overline{S}SS\overline{S}$ , $\overline{S}S\overline{S}S$ et $\overline{S}\,\overline{S}SS$ : il y en a $6$ , chacun de probabilité $0{,}3^2\times0{,}7^2$ . Donc $P=6\times0{,}0441=0{,}2646$ . »

Situation 13 : « au moins un »

« Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès ». $P=1-0{,}7^4=1-0{,}2401=0{,}7599$ . »

Situation 14 : simulation Python

« On répète $n$ fois l'expérience avec random(). On compte les réussites et on renvoie la fréquence reussites / n, proche de la probabilité pour $n$ grand. »

2. Les erreurs qui coûtent des points

Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ .
Ne pas citer la formule des probabilités totales.
Oublier un chemin de l'arbre.
Multiplier sans citer l'indépendance.
Confondre incompatibles et indépendants.
Oublier des chemins dans « exactement $k$ succès » (écris-les tous).
Appliquer $p^k q^{n-k}$ à des épreuves qui ne sont pas identiques.
Donner un résultat sans phrase de conclusion.

✅ Check-list avant de rendre la copie

Mes événements sont nommés.
Mon arbre a des branches de somme $1$ .
J'ai dit si les épreuves sont indépendantes et identiques.
J'ai cité la formule utilisée.
J'ai vérifié que la somme des feuilles vaut $1$ .
J'ai conclu par une phrase.

😄 Un correcteur qui voit « $P(D)=0{,}032$ » avec la partition citée sourit. Sans la partition, il cherche le feutre rouge.

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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