Fiche 3 : indépendance et problèmes

Question 1

L'effectif total est $150$. $P(A)=\dfrac{50}{150}=\dfrac13$, $P(B)=\dfrac{90}{150}=\dfrac35$ et $P(A\cap B)=\dfrac{30}{150}=\dfrac15$.

$P(A)\times P(B)=\dfrac13\times\dfrac35=\dfrac15=P(A\cap B)$.

✅ Dans la population 1, $A$ et $B$ sont indépendants.

Question 2

L'effectif total est $100$. $P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}7$ et $P(A\cap B)=0{,}4$.

$P(A)\times P(B)=0{,}35\neq0{,}4$.

✅ Dans la population 2, $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

Question 1

Les lancers sont indépendants : $P(6\text{ puis }6)=\dfrac16\times\dfrac16=\dfrac1{36}$.

Question 2

Le contraire est « aucun $6$ » : $\dfrac56\times\dfrac56=\dfrac{25}{36}$.

✅ $P(\text{au moins un }6)=1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}$.

Question 3

Les couples de somme $7$ sont $(1\,;\,6)$, $(2\,;\,5)$, $(3\,;\,4)$, $(4\,;\,3)$, $(5\,;\,2)$, $(6\,;\,1)$ : $6$ couples équiprobables.

✅ $P(\text{somme }7)=\dfrac6{36}=\dfrac16$.

Question 1

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ et, par indépendance, $P(A\cap B)=0{,}4\,x$.

$P(A\cup B)=0{,}4+x-0{,}4x=0{,}4+0{,}6x$.

Question 2

$0{,}4+0{,}6x=0{,}7\iff0{,}6x=0{,}3\iff x=0{,}5$.

✅ $P(B)=0{,}5$.

Question 3

$P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=0{,}5-0{,}2=0{,}3$ et $P(\overline{A})\,P(B)=0{,}6\times0{,}5=0{,}3$.

✅ Les deux valeurs sont égales : $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.

Question 1

Les deux épreuves sont indépendantes : sur le deuxième niveau, les probabilités sont $\dfrac16$ et $\dfrac56$ quelle que soit la couleur tirée. Un chemin a pour probabilité le produit de ses branches.

$P(R\cap S)=\dfrac25\times\dfrac16=\dfrac1{15}$, $P(R\cap\overline{S})=\dfrac25\times\dfrac56=\dfrac13$, $P(B\cap S)=\dfrac35\times\dfrac16=\dfrac1{10}$ et $P(B\cap\overline{S})=\dfrac35\times\dfrac56=\dfrac12$. Vérification : $\dfrac2{30}+\dfrac{10}{30}+\dfrac3{30}+\dfrac{15}{30}=1$.

Question 2

Chaque case est le produit de ses marges.

	$S$	$\overline{S}$	Total
$R$	$\dfrac1{15}$	$\dfrac13$	$\dfrac25$
$B$ (bleue)	$\dfrac1{10}$	$\dfrac12$	$\dfrac35$
Total	$\dfrac16$	$\dfrac56$	$1$

Contrôle : $\dfrac1{15}+\dfrac13=\dfrac6{15}=\dfrac25$ (somme de la ligne $R$) et $\dfrac1{15}+\dfrac1{10}=\dfrac5{30}=\dfrac16$ (somme de la colonne $S$).

Question 3

Par la formule : $P(R\cup S)=P(R)+P(S)-P(R\cap S)=\dfrac25+\dfrac16-\dfrac1{15}=\dfrac{12+5-2}{30}=\dfrac12$.

Par le tableau, on additionne les trois cases concernées : $\dfrac1{15}+\dfrac13+\dfrac1{10}=\dfrac{2+10+3}{30}=\dfrac12$.

✅ $P(R\cup S)=\dfrac12$.

Question 4

$P_S(R)=\dfrac{P(R\cap S)}{P(S)}=\dfrac{1/15}{1/6}=\dfrac6{15}=\dfrac25=P(R)$.

✅ Savoir que le dé donne $6$ ne change pas la probabilité de tirer une boule rouge : $P_S(R)=P(R)$.

C'est l'indépendance. Sur l'arbre, la branche du deuxième niveau porte $P_R(S)=P(S)$, donc $P(R\cap S)=P(R)\times P_R(S)=P(R)\times P(S)$ : le produit le long du chemin est la définition de la probabilité conditionnelle, avec $P_R(S)=P(S)$.

Situation (a)

Le même dé est lancé deux fois sans influence du premier lancer sur le second : épreuves indépendantes et identiques ($p=\dfrac16$ à chaque fois). C'est un schéma de Bernoulli ($n=2$).

✅ $P(\text{deux }6)=\dfrac16\times\dfrac16=\dfrac1{36}$.

Situation (b)

Après un premier tirage rouge, il reste $2$ rouges sur $4$ boules, donc $P_{R_1}(R_2)=\dfrac24=\dfrac12$ ; après un premier tirage bleu, $P_{\overline{R_1}}(R_2)=\dfrac34$. La probabilité de rouge dépend du résultat précédent : épreuves non indépendantes, donc pas de schéma de Bernoulli.

On a pourtant $P(R_2)=\dfrac35\times\dfrac12+\dfrac25\times\dfrac34=\dfrac3{10}+\dfrac3{10}=\dfrac35=P(R_1)$ : les deux tirages ont la même probabilité de rouge, mais ils ne sont pas indépendants, car $P(R_1\cap R_2)=\dfrac35\times\dfrac12=\dfrac3{10}\neq\dfrac35\times\dfrac35=\dfrac9{25}$.

✅ $P(\text{deux rouges})=\dfrac3{10}$.

Situation (c)

Les tirs sont indépendants par hypothèse, mais la probabilité de succès change ($0{,}4$ puis $0{,}9$) : épreuves indépendantes mais pas identiques, donc pas de schéma de Bernoulli. On multiplie quand même le long des chemins.

« Exactement un succès » : $S_1\overline{S_2}$ ou $\overline{S_1}S_2$. $P=0{,}4\times0{,}1+0{,}6\times0{,}9=0{,}04+0{,}54=0{,}58$.

✅ $P(\text{exactement un succès})=0{,}58$ (et non $2\times0{,}4\times0{,}6=0{,}48$, qui supposerait $p=0{,}4$ aux deux tirs).

Situation (d)

La probabilité de réussir le deuxième tir dépend du premier : épreuves non indépendantes (et pas identiques : $P(S_2)=0{,}6\times0{,}8+0{,}4\times0{,}5=0{,}68\neq0{,}6$).

$P(S_1\cap S_2)=0{,}6\times0{,}8=0{,}48$ (probabilité conditionnelle), alors que $P(S_1)\times P(S_2)=0{,}6\times0{,}68=0{,}408$.

✅ $P(\text{deux succès})=0{,}48$ ; $S_1$ et $S_2$ ne sont pas indépendants.

Question 1

Question 2

Les tirs sont indépendants : $P(SSS)=0{,}7^3=0{,}343$.

✅ $P(SSS)=0{,}343$.

Question 3

Les chemins à deux succès sont $SS\overline{S}$, $S\overline{S}S$ et $\overline{S}SS$. Chacun a pour probabilité $0{,}7^2\times0{,}3=0{,}147$.

✅ $P(\text{exactement deux})=3\times0{,}147=0{,}441$.

Question 4

Le contraire est « aucun succès » : $P(\overline{S}\,\overline{S}\,\overline{S})=0{,}3^3=0{,}027$.

✅ $P(\text{au moins un})=1-0{,}027=0{,}973$.

Question 5

Notons $S_i$ « le tir $i$ est réussi ». Le chemin $SS\overline{S}$ représente $S_1\cap S_2\cap\overline{S_3}$. Les tirs sont indépendants : $S_1\cap S_2$, lié aux deux premiers tirs, est indépendant de $\overline{S_3}$, lié au troisième. Donc $P(S_1\cap S_2\cap\overline{S_3})=P(S_1\cap S_2)\times P(\overline{S_3})=P(S_1)\,P(S_2)\,P(\overline{S_3})$.

✅ $P(SS\overline{S})=0{,}7\times0{,}7\times0{,}3=0{,}147$.

Question 6

Nombre de chemins : $1$, $3$, $3$, $1$. $P(0)=0{,}3^3=0{,}027$ ; $P(1)=3\times0{,}7\times0{,}3^2=0{,}189$ ; $P(2)=0{,}441$ ; $P(3)=0{,}343$.

Nombre de succès	$0$	$1$	$2$	$3$
Probabilité	$0{,}027$	$0{,}189$	$0{,}441$	$0{,}343$

Somme : $0{,}027+0{,}189+0{,}441+0{,}343=1$.

Question 1

Chaque pièce a deux issues (défectueuse ou non), les pièces sont indépendantes (hypothèse de l'énoncé) et la probabilité $p=0{,}1$ est la même pour chacune ($q=0{,}9$).

Question 2

On compte sur l'arbre (ou on écrit les chemins) : un seul chemin sans défectueuse, quatre avec une seule (elle est en position $1$, $2$, $3$ ou $4$), six avec deux (voir le cours), quatre avec trois (une seule pièce est bonne) et un seul avec quatre.

Nombre de défectueuses	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Chemins	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$
Probabilité d'un chemin	$0{,}9^4=0{,}6561$	$0{,}1\times0{,}9^3=0{,}0729$	$0{,}1^2\times0{,}9^2=0{,}0081$	$0{,}1^3\times0{,}9=0{,}0009$	$0{,}1^4=0{,}0001$

Question 3

$P(0)=0{,}9^4=0{,}6561$, $P(1)=4\times0{,}0729=0{,}2916$, $P(2)=6\times0{,}0081=0{,}0486$.

✅ $P(0)=0{,}6561$, $P(1)=0{,}2916$ et $P(2)=0{,}0486$.

Question 4

Par le contraire : $1-P(0)=1-0{,}6561=0{,}3439$. Par la somme des chemins : $P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=0{,}2916+0{,}0486+0{,}0036+0{,}0001=0{,}3439$, avec $P(3)=4\times0{,}0009=0{,}0036$ et $P(4)=0{,}0001$.

✅ $P(\text{au moins une})=0{,}3439$.

Question 5

$P(\text{au plus une})=P(0)+P(1)=0{,}6561+0{,}2916=0{,}9477$.

Somme : $0{,}6561+0{,}2916+0{,}0486+0{,}0036+0{,}0001=1$.

✅ $P(\text{au plus une})=0{,}9477$ et la somme vaut bien $1$.

Question 1

Le carré a pour aire $1$ et le quart de disque a pour aire $\dfrac\pi4$.

✅ La probabilité est $\dfrac\pi4$.

Question 2

La condition est x ** 2 + y ** 2 <= 1 et la fonction renvoie 4 * dedans / n (car la fréquence approche $\dfrac\pi4$).

def estime_pi(n):
    dedans = 0
    for _ in range(n):
        x, y = random(), random()
        if x ** 2 + y ** 2 <= 1:
            dedans += 1
    return 4 * dedans / n

Question 3

La fréquence de réussite se stabilise autour de $\dfrac\pi4$. Pour $n=100\,000$, on obtient en général une valeur proche de $3{,}14$, souvent à $0{,}01$ près.

✅ Plus $n$ est grand, plus l'estimation est proche de $\pi$, mais elle reste aléatoire.

Affirmation 1

Alors $P(A\cap B)=0$ alors que $P(A)\,P(B)\neq0$.

❌ Faux.

Affirmation 2

$P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A)P(B)=P(\overline{A})\,P(B)$.

✅ Vrai.

Affirmation 3

$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ : l'égalité équivaut à $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$.

✅ Vrai.

Affirmation 4

Exercice 5 de la fiche 1 : $P_{R_1}(R_2)=\dfrac47\neq P(R_2)=\dfrac58$.

❌ Faux.

Affirmation 5

Contre-exemple : un dé puis une pièce (exercice 4 ou cours §6) sont deux épreuves indépendantes, mais pas identiques ; de même les deux tirs de l'exercice 5 (c).

❌ Faux.

Affirmation 6

Il y a $6$ chemins à deux succès pour $n=4$ (exercice 7), chacun de probabilité $p^2q^2$ par indépendance.

✅ Vrai.