Première Spé Maths / Chapitre 9 : Probabilités conditionnelles et indépendance

Fiche 1 : arbres pondérés et probabilités totales

Sept exercices pour maîtriser les arbres pondérés et la formule des probabilités totales :

lecture d'un tableau croisé ;
compléter un arbre pondéré ;
probabilités totales avec deux événements ;
probabilités totales avec trois événements ;
tirages sans remise ;
distinguer $P(A\cap B)$ , $P_A(B)$ et $P_B(A)$ ;
vrai/faux.

Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend d'une bonne copie :

les événements sont nommés avant tout calcul ;
chaque chemin est calculé séparément puis additionné ;
la somme des feuilles est vérifiée.

💡 Le modèle de rédaction pour la formule des probabilités totales

« $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, $P(B)=P(A)\,P_A(B)+P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)=0{,}6\times0{,}9+0{,}4\times0{,}4=0{,}7$ . »

Nomme la partition.
Cite la formule.
Remplace par les valeurs, puis calcule.

⚠️ Les pièges classiques

Oublier un chemin qui aboutit à l'événement.
Mettre une probabilité non conditionnelle sur le deuxième niveau.
Ne pas citer la formule et donner seulement le résultat.
Écrire $P(B)=P_A(B)+P_{\overline{A}}(B)$ .

😄 Oublier un chemin dans l'arbre, c'est comme oublier un invité à la fête : le total ne tombe pas juste et tout le monde le remarque.

Exercice 1 (★) : tableau croisé

Une entreprise compte $250$ salariés, dont $140$ femmes. $100$ salariés télétravaillent, dont $60$ femmes. On choisit un salarié au hasard. On note $F$ : « c'est une femme » et $T$ : « il télétravaille ».

1. Compléter le tableau des effectifs.

2. Calculer $P(F)$ , $P(T)$ et $P(F\cap T)$ .

3. Calculer $P_F(T)$ et $P_T(F)$ , puis interpréter ces deux nombres par une phrase.

✏️ Correction de l'exercice 1

Question 1

Les femmes qui ne télétravaillent pas : $140-60=80$ . Les hommes : $250-140=110$ . Les hommes qui télétravaillent : $100-60=40$ , et ceux qui ne télétravaillent pas : $110-40=70$ .

	$T$	$\overline{T}$	Total
$F$	$60$	$80$	$140$
$\overline{F}$	$40$	$70$	$110$
Total	$100$	$150$	$250$

Question 2

$P(F)=\dfrac{140}{250}=0{,}56$ et $P(T)=\dfrac{100}{250}=0{,}4$ .

✅ $P(F\cap T)=\dfrac{60}{250}=0{,}24$ .

Question 3

$P_F(T)=\dfrac{60}{140}=\dfrac37\approx0{,}43$ et $P_T(F)=\dfrac{60}{100}=0{,}6$ .

✅ Parmi les femmes, $43\,\%$ télétravaillent. Parmi les télétravailleurs, $60\,\%$ sont des femmes.

Exercice 2 (★) : compléter un arbre

Un élève révise la veille d'un contrôle avec la probabilité $0{,}6$ . S'il révise, il réussit avec la probabilité $0{,}9$ . S'il ne révise pas, il réussit avec la probabilité $0{,}4$ . On note $A$ : « il révise » et $B$ : « il réussit ».

1. Dessiner l'arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité de chacun des quatre chemins.

3. En déduire $P(B)$ .

✏️ Correction de l'exercice 2

Question 1

Arbre de l'exercice 2

Question 2

$P(A\cap B)=0{,}6\times0{,}9=0{,}54$ et $P(A\cap\overline{B})=0{,}6\times0{,}1=0{,}06$ .

$P(\overline{A}\cap B)=0{,}4\times0{,}4=0{,}16$ et $P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}4\times0{,}6=0{,}24$ .

Vérification : $0{,}54+0{,}06+0{,}16+0{,}24=1$ .

Question 3

$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

$P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)=0{,}54+0{,}16=0{,}70$ .

✅ $P(B)=0{,}7$ .

Exercice 3 (★★) : deux événements

Un site marchand reçoit $70\,\%$ de ses commandes depuis un téléphone ( $M$ ) et $30\,\%$ depuis un ordinateur. Un article est retourné ( $R$ ) dans $10\,\%$ des commandes par téléphone et dans $4\,\%$ des commandes par ordinateur.

1. Donner $P(M)$ , $P_M(R)$ et $P_{\overline{M}}(R)$ .

2. Calculer la probabilité qu'une commande soit passée par téléphone et retournée.

3. Calculer la probabilité qu'une commande soit retournée.

4. Calculer la probabilité qu'une commande ne soit pas retournée.

✏️ Correction de l'exercice 3

Question 1

$P(M)=0{,}7$ , $P_M(R)=0{,}1$ et $P_{\overline{M}}(R)=0{,}04$ .

Question 2

$P(M\cap R)=P(M)\times P_M(R)=0{,}7\times0{,}1=0{,}07$ .

✅ $P(M\cap R)=0{,}07$ .

Question 3

$M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

$P(R)=P(M\cap R)+P(\overline{M}\cap R)=0{,}07+0{,}3\times0{,}04=0{,}07+0{,}012=0{,}082$ .

✅ $P(R)=0{,}082$ .

Question 4

$P(\overline{R})=1-P(R)=1-0{,}082=0{,}918$ .

✅ $P(\overline{R})=0{,}918$ .

Exercice 4 (★★) : trois événements

Un atelier reçoit ses pièces de trois fournisseurs $F_1$ , $F_2$ , $F_3$ , avec les parts $50\,\%$ , $30\,\%$ et $20\,\%$ . Les taux de pièces défectueuses sont $1\,\%$ , $2\,\%$ et $5\,\%$ . On prend une pièce au hasard. On note $D$ : « la pièce est défectueuse ».

1. Montrer que $F_1$ , $F_2$ , $F_3$ forment une partition de l'univers.

2. Calculer $P(D)$ .

3. Calculer la probabilité qu'une pièce vienne de $F_3$ et soit en bon état.

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

Les trois fournisseurs sont deux à deux incompatibles (une pièce n'a qu'un fournisseur) et $0{,}5+0{,}3+0{,}2=1$ .

✅ $\{F_1\,;\,F_2\,;\,F_3\}$ est une partition de l'univers.

Question 2

D'après la formule des probabilités totales :

$P(D)=0{,}5\times0{,}01+0{,}3\times0{,}02+0{,}2\times0{,}05=0{,}005+0{,}006+0{,}010=0{,}021$ .

✅ $P(D)=0{,}021$ , soit $2{,}1\,\%$ de pièces défectueuses.

Question 3

$P(F_3\cap\overline{D})=P(F_3)\times P_{F_3}(\overline{D})=0{,}2\times0{,}95=0{,}19$ .

✅ La probabilité est $0{,}19$ .

Exercice 5 (★★) : tirages sans remise

Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules bleues. On tire successivement deux boules sans remise. On note $R_1$ : « la première est rouge » et $R_2$ : « la deuxième est rouge ».

1. Donner $P(R_1)$ et $P_{R_1}(R_2)$ .

2. Calculer $P(R_1\cap R_2)$ .

3. Calculer $P(R_2)$ .

4. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes.

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

$P(R_1)=\dfrac58$ . Si $R_1$ est réalisé, il reste $4$ rouges sur $7$ boules.

✅ $P_{R_1}(R_2)=\dfrac47$ .

Question 2

$P(R_1\cap R_2)=\dfrac58\times\dfrac47=\dfrac{20}{56}=\dfrac5{14}$ .

✅ $P(R_1\cap R_2)=\dfrac5{14}$ .

Question 3

$R_1$ et $\overline{R_1}$ forment une partition. Si $\overline{R_1}$ est réalisé, il reste $5$ rouges sur $7$ boules : $P_{\overline{R_1}}(R_2)=\dfrac57$ .

$P(R_2)=\dfrac5{14}+\dfrac38\times\dfrac57=\dfrac{20}{56}+\dfrac{15}{56}=\dfrac{35}{56}=\dfrac58$ .

✅ $P(R_2)=\dfrac58=P(R_1)$ .

Question 4

Deux couleurs différentes : rouge puis bleue, ou bleue puis rouge.

$P=\dfrac58\times\dfrac37+\dfrac38\times\dfrac57=\dfrac{15}{56}+\dfrac{15}{56}=\dfrac{30}{56}=\dfrac{15}{28}$ .

✅ La probabilité est $\dfrac{15}{28}$ .

Exercice 6 (★) : distinguer trois probabilités

Un club compte $40$ adhérents. $25$ pratiquent la natation ( $N$ ), $16$ pratiquent le tennis ( $T$ ) et $6$ pratiquent les deux. On choisit un adhérent au hasard.

1. Calculer $P(N\cap T)$ , $P_N(T)$ et $P_T(N)$ .

2. Associer chaque nombre à sa phrase : (a) « parmi les nageurs, la proportion de joueurs de tennis » ; (b) « la proportion d'adhérents qui pratiquent les deux sports » ; (c) « parmi les joueurs de tennis, la proportion de nageurs ».

3. Calculer la probabilité qu'un adhérent qui ne nage pas joue au tennis, et l'écrire avec les notations du cours.

✏️ Correction de l'exercice 6

Question 1

$P(N\cap T)=\dfrac6{40}=0{,}15$ .

$P_N(T)=\dfrac{6}{25}=0{,}24$ et $P_T(N)=\dfrac6{16}=\dfrac38=0{,}375$ .

Question 2

Le dénominateur est l'effectif de l'événement « sachant » : (a) est $P_N(T)=0{,}24$ (on divise par les $25$ nageurs) ; (b) est $P(N\cap T)=0{,}15$ (on divise par les $40$ adhérents) ; (c) est $P_T(N)=0{,}375$ (on divise par les $16$ joueurs de tennis).

Question 3

Il y a $40-25=15$ adhérents qui ne nagent pas. Parmi eux, $16-6=10$ jouent au tennis.

✅ $P_{\overline{N}}(T)=\dfrac{10}{15}=\dfrac23$ .

Exercice 7 (★★) : vrai ou faux

Justifier chaque réponse :

1. Les probabilités des branches issues d'un même nœud ont pour somme $1$ .

2. $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ .

3. On a toujours $P_A(B)+P_{\overline{A}}(B)=1$ .

4. Dans un arbre, la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.

✏️ Correction de l'exercice 7

Affirmation 1

Les issues d'un nœud forment une partition de l'univers conditionnel.

✅ Vrai.

Affirmation 2

C'est la définition de la probabilité conditionnelle, écrite autrement.

✅ Vrai.

Affirmation 3

Contre-exemple de l'exercice 2 : $P_A(B)+P_{\overline{A}}(B)=0{,}9+0{,}4=1{,}3$ .

❌ Faux.

Affirmation 4

Les chemins sont deux à deux incompatibles.

✅ Vrai.

🎯 Ce qui peut tomber en contrôle

Lire un tableau croisé (exercice 1).
Compléter un arbre et calculer les chemins (exercice 2).
Probabilités totales à deux ou trois événements (exercices 3 et 4).
Sans remise (exercice 5).
Distinguer $P(A\cap B)$ , $P_A(B)$ et $P_B(A)$ (exercice 6).

QCM : vérifie tes acquis

6 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 6

Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est :

Question 2 sur 6

$P_A(B)$ se calcule par :

Question 3 sur 6

Avec $P(A)=0{,}3$ , $P_A(B)=0{,}5$ , $P_{\overline{A}}(B)=0{,}2$ , on a $P(B)=$ :

Question 4 sur 6

Les événements $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ forment une partition si :

Question 5 sur 6

Dans un groupe de $50$ personnes, $30$ ont un chien ( $C$ ) et $10$ ont un chien et un chat. La probabilité qu'une personne ait un chat sachant qu'elle a un chien vaut :

Question 6 sur 6

Dans une urne sans remise, les deux tirages successifs :

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