Géométrie repérée : le cours

🎯 Comment utiliser ce cours

• Lis une partie, puis fais tout de suite la fiche correspondante.
• Retiens le fil rouge : un vecteur normal donne l'équation, un produit scalaire nul donne la perpendiculaire.
• Pour un cercle, retiens deux réflexes : $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ et $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ pour un diamètre $[AB]$.
• Pour un projeté orthogonal, retiens : le point de la droite dont le vecteur vers $M$ est colinéaire au vecteur normal.

Définition. Un vecteur normal à une droite $d$ est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de $d$. Il est donc orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ pour tous points $A$ et $B$ de $d$.

Propriété. Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme

• $\vec n\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à la droite ;
• $\vec u\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite ;
• réciproquement, toute équation $ax+by+c=0$ avec $(a\,;\,b)\neq(0\,;\,0)$ est celle d'une droite.

Pourquoi $(a\,;\,b)$ est normal. Soient $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ deux points distincts de la droite $ax+by+c=0$. Ils vérifient $ax_A+by_A+c=0$ et $ax_B+by_B+c=0$. En soustrayant les deux égalités :

Le vecteur $\vec n$ est non nul et orthogonal à tout vecteur $\overrightarrow{AB}$ de la droite : c'est un vecteur normal. Comme $\vec n\cdot\vec u=-ab+ba=0$ et que, dans le plan, tous les vecteurs orthogonaux à $\vec n$ sont colinéaires, $\vec u(-b\,;\,a)$ est un vecteur directeur. $\square$

Propriété (droite définie par un point et un vecteur normal). La droite passant par $A(x_A\,;\,y_A)$ et de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0$, soit

En effet, $M$ est sur la droite si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ est nul ou directeur, c'est-à-dire orthogonal à $\vec n$. En développant, on retrouve la forme $ax+by+c=0$ avec $c=-ax_A-by_A$.

Parallèles et perpendiculaires. Soient $d : ax+by+c=0$ et $d' : a'x+b'y+c'=0$.

• $d$ et $d'$ sont parallèles ou confondues si et seulement si les vecteurs normaux sont colinéaires : $ab'-a'b=0$ ;
• $d\perp d'$ si et seulement si les vecteurs normaux sont orthogonaux : $aa'+bb'=0$.

Équation réduite. Une droite non verticale a une équation $y=mx+p$. Le coefficient directeur est $m$ et un vecteur directeur est $\begin{pmatrix}1\\m\end{pmatrix}$.

Une droite verticale a une équation $x=k$ : elle n'a pas d'équation réduite.

Définition. Le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $\overrightarrow{MH}$ soit orthogonal à $d$, c'est-à-dire colinéaire à un vecteur normal $\vec n$ de $d$. Si $M\in d$, alors $H=M$.

Deux méthodes pour calculer $H$ quand $d : ax+by+c=0$ (vecteur normal $\vec n(a\,;\,b)$) :

• Méthode 1 (paramètre). On écrit $H=M+t\,\vec n$, soit $H(x_M+ta\,;\,y_M+tb)$, puis on exprime que $H\in d$ pour trouver $t$.
• Méthode 2 (perpendiculaire). On écrit l'équation de la perpendiculaire $\Delta$ à $d$ passant par $M$ (le vecteur $\vec n$ est directeur de $\Delta$), puis $H$ est le point d'intersection de $d$ et $\Delta$.

def projete(xM, yM, a, b, c):
    # projeté orthogonal de M sur la droite ax + by + c = 0
    t = -(a * xM + b * yM + c) / (a**2 + b**2)
    return round(xM + t * a, 6), round(yM + t * b, 6)

print(projete(5, 4, 1, 2, -4))  # affiche (3.2, 0.4)

Propriété. Le cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r>0$ est l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ tels que $\Omega M=r$, c'est-à-dire

Reconnaître un cercle. Pour étudier $x^2+y^2+px+qy+s=0$, on regroupe en carrés (forme canonique) :

• Si le second membre est strictement positif : c'est un cercle ;
• s'il est nul : c'est un point (le centre) ;
• s'il est négatif : l'ensemble est vide.

def cercle(p, q, s):
    # étudie x² + y² + p x + q y + s = 0
    k = (p**2 + q**2) / 4 - s
    if k > 0:
        return "cercle", (-p / 2, -q / 2), k ** 0.5
    if k == 0:
        return "point", (-p / 2, -q / 2)
    return "ensemble vide"

print(cercle(-6, 4, -3))  # affiche ('cercle', (3.0, -2.0), 4.0)

Cercle de diamètre $[AB]$. C'est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ (démontré au chapitre précédent). Son centre est le milieu $I$ de $[AB]$ et son rayon vaut $\dfrac{AB}{2}$.

Un peu d'histoire. Les cercles font partie des plus vieux objets mathématiques. La caractérisation du cercle de diamètre $[AB]$ comme ensemble des points $M$ tels que le triangle $AMB$ soit rectangle en $M$ semble remonter à Thalès. Mais ce n'est qu'au XVIIe siècle que Descartes élabore la méthode des coordonnées et écrit l'équation d'un cercle en repère orthonormé.

Intersection avec une droite parallèle à un axe. Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r$. Pour la droite $x=k$, on remplace $x$ par $k$ dans l'équation du cercle :

On note $m=r^2-(k-a)^2$. Si $m>0$, il y a deux points $\left(k\,;\,b\pm\sqrt m\right)$ ; si $m=0$, un seul point $(k\,;\,b)$ ; si $m<0$, aucun point. Pour une droite $y=k$, on procède de même avec $(x-a)^2=r^2-(k-b)^2$.

Tangente en un point du cercle. Soit $A$ un point du cercle de centre $\Omega$. La tangente en $A$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $(\Omega A)$ (propriété vue au collège). Le vecteur $\overrightarrow{\Omega A}$ est donc normal à la tangente :

Méthode en trois temps :

• Traduire chaque donnée en équation (droite, cercle, condition de produit scalaire) ;
• Résoudre le système ou calculer avec les coordonnées ;
• Conclure par une phrase : « donc le point $H$ a pour coordonnées... », « donc l'ensemble est la courbe d'équation... ».

• Avec la droite $y=k$ : on résout l'équation du second degré $ax^2+bx+c=k$ (discriminant du chapitre 1) ;
• avec la droite $x=k$ : il y a un seul point commun, $\left(k\,;\,ak^2+bk+c\right)$.

Le programme se limite aux droites parallèles aux axes. Pour une droite oblique, on substitue encore l'équation de la droite dans celle du cercle, ce qui donne une équation du second degré. Exemple. Cercle $x^2+y^2=25$ et droite $y=x+1$ : $x^2+(x+1)^2=25$, soit $x^2+x-12=0$, donc $x=3$ ou $x=-4$. Les points sont $(3\,;\,4)$ et $(-4\,;\,-3)$.

Cette méthode n'est pas exigible : si un exercice la demande, l'énoncé la fournit.