Première Spé Maths / Chapitre 8 : Géométrie repérée

Géométrie repérée : exercices de synthèse

Trois exercices complets, au format d'un devoir :

un triangle : hauteurs, orthocentre, cercle circonscrit, projeté orthogonal et tangente ;
un ensemble de points équidistants de l'axe des abscisses et d'un point, et son intersection avec des droites parallèles aux axes ;
un problème de modélisation avec le phare, un projeté orthogonal et un script Python.

Les corrections sont rédigées comme on l'attend d'une excellente copie :

vecteur normal écrit avant chaque équation ;
vérification par une troisième droite ou un point ;
conclusion en une phrase.

Elles suivent le Guide de rédaction général et celui du chapitre. Durée conseillée : 25 minutes par exercice, sur papier, sans regarder la correction.

💡 Comment t'entraîner efficacement

Chronomètre-toi et rédige tout, comme en devoir.
Fais une figure même quand l'énoncé n'en demande pas.
Si tu bloques sur une question, écris ce que tu sais et passe à la suivante.
À la fin de chaque exercice, ouvre « Points clés attendus ».

Exercice 1 : un triangle complet

Dans un repère orthonormé, $A(-2\,;\,0)$ , $B(4\,;\,0)$ et $C(0\,;\,4)$ .

1. Déterminer les équations des hauteurs issues de $A$ et de $B$ , puis l'orthocentre $H$ .

2. Déterminer les équations des médiatrices de $[AB]$ et de $[BC]$ , puis le centre $\Omega$ et une équation du cercle circonscrit.

3. Déterminer le projeté orthogonal $K$ de $A$ sur la droite $(BC)$ , puis calculer $AK$ et l'aire du triangle $ABC$ .

4. Déterminer l'équation de la tangente au cercle circonscrit en $C$ .

Cercle circonscrit, hauteur issue de A (rouge), projeté K de A sur (BC) et tangente en C

✏️ Correction de la question 1

$\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}$ est normal à la hauteur issue de $A$ : $-4(x+2)+4y=0\iff y=x+2$ .

$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$ est normal à la hauteur issue de $B$ : $2(x-4)+4y=0\iff x+2y-4=0$ .

On résout : $y=x+2$ donne $x+2x+4-4=0$ , donc $x=0$ et $y=2$ .

Vérification : la hauteur issue de $C$ est $x=0$ (perpendiculaire à l'axe $(AB)$ ) et contient $(0\,;\,2)$ .

✅ $H(0\,;\,2)$ .

✏️ Correction de la question 2

Médiatrice de $[AB]$ : milieu $(1\,;\,0)$ , normal $\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}$ , donc $x=1$ .

Médiatrice de $[BC]$ : milieu $(2\,;\,2)$ , normal $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}$ : $-4(x-2)+4(y-2)=0\iff y=x$ .

Intersection : $\Omega(1\,;\,1)$ . $\Omega A^2=9+1=10$ , $\Omega B^2=9+1=10$ et $\Omega C^2=1+9=10$ .

✅ Le cercle circonscrit est $(x-1)^2+(y-1)^2=10$ .

✏️ Correction de la question 3

$\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}$ est directeur de $(BC)$ , donc $\vec n\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ est normal : $(BC) : x+y+c=0$ et $B\in(BC)$ donne $c=-4$ .

On pose $K=A+t\,\vec n=(-2+t\,;\,t)$ . $K\in(BC)\iff-2+t+t-4=0\iff t=3$ , donc $K(1\,;\,3)$ .

$AK=|t|\,\|\vec n\|=3\sqrt2$ et $BC=\sqrt{16+16}=4\sqrt2$ , donc l'aire vaut $\dfrac12\times BC\times AK=\dfrac12\times4\sqrt2\times3\sqrt2=12$ .

Vérification : $K$ est sur la hauteur issue de $A$ ( $3=1+2$ ) et l'aire vaut aussi $\dfrac12\times AB\times y_C=\dfrac12\times6\times4=12$ .

✅ $K(1\,;\,3)$ , $AK=3\sqrt2$ et l'aire de $ABC$ vaut $12$ .

✏️ Correction de la question 4

$\overrightarrow{\Omega C}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$ est normal à la tangente en $C$ .

$-1(x-0)+3(y-4)=0\iff-x+3y-12=0$ .

✅ La tangente en $C$ est $x-3y+12=0$ .

✏️ Points clés attendus pour l'exercice 1

• Q1 : deux hauteurs, intersection, vérification avec la troisième.

• Q2 : deux médiatrices et vérification avec les trois distances.

• Q3 : vecteur normal de $(BC)$ , projeté orthogonal par $K=A+t\,\vec n$ , vérification par l'aire calculée autrement.

• Q4 : tangente perpendiculaire au rayon.

Exercice 2 : points équidistants d'un axe et d'un point

Dans un repère orthonormé, $F(2\,;\,2)$ . On note $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ équidistants de l'axe des abscisses et du point $F$ .

1. Montrer que $\mathcal{E}$ est la courbe d'équation $y=\dfrac{(x-2)^2}4+1$ .

2. Déterminer les points d'intersection de $\mathcal{E}$ avec la droite $y=5$ .

3. Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $F$ et de rayon $2$ . Déterminer son intersection avec la droite $x=4$ , puis vérifier que le point obtenu appartient à $\mathcal{E}$ et que la droite est tangente à $\mathcal{C}$ .

L’ensemble E (parabole), le cercle de centre F et de rayon 2 et les droites y = 5 et x = 4

✏️ Correction de la question 1

La distance de $M(x\,;\,y)$ à l'axe des abscisses est $|y|$ (son projeté orthogonal est $(x\,;\,0)$ ).

$M\in\mathcal{E}\iff|y|=MF\iff y^2=MF^2\iff y^2=(x-2)^2+(y-2)^2$ (deux nombres positifs ont des carrés dans le même ordre).

On développe : $0=(x-2)^2-4y+4\iff y=\dfrac{(x-2)^2}4+1$ .

✅ $\mathcal{E}$ est la parabole d'équation $y=\dfrac{(x-2)^2}4+1$ .

✏️ Correction de la question 2

Avec $y=5$ : $\dfrac{(x-2)^2}4=4\iff(x-2)^2=16\iff x-2=\pm4$ .

✅ Les points sont $P(-2\,;\,5)$ et $Q(6\,;\,5)$ .

✏️ Correction de la question 3

$\mathcal{C} : (x-2)^2+(y-2)^2=4$ . Avec $x=4$ : $4+(y-2)^2=4\iff y=2$ . Un seul point commun : $T(4\,;\,2)$ .

$T\in\mathcal{E}$ car $\dfrac{(4-2)^2}4+1=2$ . Le rayon $[FT]$ est horizontal et la droite $x=4$ est verticale : elles sont perpendiculaires en $T$ .

✅ La droite $x=4$ est tangente à $\mathcal{C}$ en $T(4\,;\,2)$ , et $T$ appartient à $\mathcal{E}$ .

✏️ Points clés attendus pour l'exercice 2

• Q1 : passage au carré justifié, puis développement.

• Q2 : substitution de $y=5$ , deux solutions, conclusion avec les deux coordonnées.

• Q3 : substitution de $x=4$ , une seule solution, tangente perpendiculaire au rayon.

Exercice 3 : le phare, avec Python

Un phare est en $O(0\,;\,0)$ (unité : le km) avec une portée de $5$ km. Un bateau suit la droite $d : 3x+4y=20$ .

1. Déterminer le projeté orthogonal $I$ de $O$ sur $d$ , puis la distance $OI$ .

2. Soient $P$ et $Q$ les points de $d$ situés à $5$ km du phare. Calculer la longueur $PQ$ du trajet éclairé.

3. Déterminer les coordonnées de $P$ et de $Q$ .

4. On exécute le script suivant. Prévoir l'affichage et conclure.
from math import sqrt

def projete(xM, yM, a, b, c):
    # projeté orthogonal de M sur la droite ax + by + c = 0
    t = -(a * xM + b * yM + c) / (a**2 + b**2)
    return round(xM + t * a, 6), round(yM + t * b, 6)

xI, yI = projete(0, 0, 3, 4, -20)
print(xI, yI, round(sqrt(xI**2 + yI**2), 6))
for (x, y) in ((0, 5), (4.8, 1.4)):
    print(x, y, round(x**2 + y**2, 6))

✏️ Correction de la question 1

Un vecteur normal à $d : 3x+4y-20=0$ est $\vec n(3\,;\,4)$ . On pose $I=O+t\,\vec n=(3t\,;\,4t)$ .

$I\in d\iff9t+16t-20=0\iff t=\dfrac45$ , donc $I\left(\dfrac{12}5\,;\,\dfrac{16}5\right)=(2{,}4\,;\,3{,}2)$ .

$OI=|t|\,\|\vec n\|=\dfrac45\times5=4$ .

✅ $I(2{,}4\,;\,3{,}2)$ est le projeté orthogonal de $O$ sur $d$ : le bateau passe à $4$ km du phare au plus près.

✏️ Correction de la question 2

Soit $P\in d$ avec $OP=5$ . Comme $I$ est le projeté orthogonal de $O$ , le triangle $OIP$ est rectangle en $I$ : $IP^2=OP^2-OI^2=25-16=9$ , donc $IP=3$ .

Les deux points de $d$ à $5$ km de $O$ sont de part et d'autre de $I$ , à $3$ km de $I$ .

✅ $PQ=6$ km.

✏️ Correction de la question 3

Un vecteur directeur de $d$ est $\vec u(-4\,;\,3)$ , de norme $5$ . Le vecteur $\dfrac35\vec u\begin{pmatrix}-2{,}4\\1{,}8\end{pmatrix}$ a pour norme $3$ .

$P=I+\dfrac35\vec u=(0\,;\,5)$ et $Q=I-\dfrac35\vec u=(4{,}8\,;\,1{,}4)$ .

Vérification : $3\times0+4\times5=20$ , $3\times4{,}8+4\times1{,}4=20$ , et $0^2+5^2=4{,}8^2+1{,}4^2=25$ .

✅ $P(0\,;\,5)$ et $Q(4{,}8\,;\,1{,}4)$ .

✏️ Correction de la question 4

Le script affiche 2.4 3.2 4.0 (coordonnées de $I$ et distance $OI$ ), puis 0 5 25 et 4.8 1.4 25.0.

✅ Les deux points sont bien à $5$ km du phare, et $I$ est à $4$ km.

✏️ Points clés attendus pour l'exercice 3

• Q1 : vecteur normal, $I=O+t\,\vec n$ , calcul de $OI$ .

• Q2 : triangle $OIP$ rectangle en $I$ et théorème de Pythagore.

• Q3 : vecteur directeur normé, coordonnées de $P$ et $Q$ vérifiées.

• Q4 : lecture de la sortie du script.

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