Produit scalaire : exercices de synthèse

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-(-1)\\-1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4-(-1)\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times5+(-3)\times1=20-3=17$.

$AB=\sqrt{16+9}=5$ et $AC=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$.

✅ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=17$, $AB=5$ et $AC=\sqrt{26}$.

$\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}=\dfrac{17}{5\sqrt{26}}\approx0{,}667$.

✅ $\widehat{BAC}\approx 48{,}2°$.

En $B$. $\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-4+12=8$ et $BC=\sqrt{17}$.

$\cos\widehat{ABC}=\dfrac{8}{5\sqrt{17}}\approx 0{,}388$, donc $\widehat{ABC}\approx 67{,}2°$.

En $C$. $\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix}-5\\-1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix}-1\\-4\end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=5+4=9$.

$\cos\widehat{ACB}=\dfrac{9}{\sqrt{26}\sqrt{17}}\approx 0{,}428$, donc $\widehat{ACB}\approx 64{,}7°$.

Somme des valeurs arrondies : $48{,}2+67{,}2+64{,}7=180{,}1$.

✅ La somme vaut $180{,}1°$ au lieu de $180°$ : l'écart de $0{,}1°$ vient des arrondis. Sans arrondir, la somme vaut exactement $180°$.

Première façon (projeté orthogonal). Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. Comme $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=17>0$, $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH$, donc $AH=\dfrac{17}{5}$.

Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ : $CH^2=AC^2-AH^2=26-\dfrac{289}{25}=\dfrac{361}{25}$, donc $CH=\dfrac{19}{5}$.

Aire $=\dfrac12\times AB\times CH=\dfrac12\times5\times\dfrac{19}{5}=\dfrac{19}{2}$.

Seconde façon (déterminant, outil de Seconde). Aire $=\dfrac12\left|x_{\overrightarrow{AB}}\,y_{\overrightarrow{AC}}-y_{\overrightarrow{AB}}\,x_{\overrightarrow{AC}}\right|=\dfrac12|4\times1-(-3)\times5|=\dfrac{19}{2}$.

✅ Aire $=\dfrac{19}{2}=9{,}5$ unités d'aire.

Le script calcule, pour chaque sommet, le produit scalaire des deux vecteurs qui en partent, puis applique $\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}$.

from math import sqrt, acos, degrees

def angle(P, Q, R):
    """Angle PQR en degrés, calculé avec le produit scalaire."""
    u = (P[0] - Q[0], P[1] - Q[1])
    v = (R[0] - Q[0], R[1] - Q[1])
    ps = u[0] * v[0] + u[1] * v[1]
    nu = sqrt(u[0]**2 + u[1]**2)
    nv = sqrt(v[0]**2 + v[1]**2)
    return degrees(acos(ps / (nu * nv)))

A, B, C = (-1, 2), (3, -1), (4, 3)
print(round(angle(B, A, C), 1), round(angle(A, B, C), 1), round(angle(A, C, B), 1))

Il affiche 48.2 67.2 64.7, ce qui confirme les questions 2 et 3.

✅ Le script affiche les trois angles : à comparer avec les calculs à la main.

• Q1 : coordonnées écrites, produit scalaire et normes.

• Q2 : formule de l'angle, valeur exacte avant l'arrondi.

• Q3 : trois angles, vérification par la somme en tenant compte des arrondis.

• Q4 : deux méthodes cohérentes (projeté orthogonal, déterminant).

• Q5 : le produit scalaire est programmé avec les coordonnées ; le sommet de l'angle est le point d'où partent les deux vecteurs.

On introduit $I$ : $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}$.

$MA^2+MB^2=\left(MI^2+2\,\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{IA}+IA^2\right)+\left(MI^2-2\,\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{IA}+IA^2\right)=2\,MI^2+2\,IA^2$.

Comme $IA=\dfrac{AB}{2}=4$ : $2\,IA^2=32$. Ce calcul est valable pour tout point $M$, même sur la droite $(AB)$.

✅ $MA^2+MB^2=2\,MI^2+32$.

$MA^2+MB^2=40\iff2\,MI^2+32=40\iff MI^2=4\iff MI=2$.

✅ $\mathcal{E}_{40}$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $2$.

$MA^2+MB^2=32\iff2\,MI^2=0\iff M=I$.

$MA^2+MB^2=20\iff2\,MI^2=-12\iff MI^2=-6$ : impossible car un carré est positif.

✅ $\mathcal{E}_{32}=\{I\}$ et $\mathcal{E}_{20}=\varnothing$.

$MA^2+MB^2=k\iff MI^2=\dfrac{k-32}{2}$.

Si $k>32$ : cercle de centre $I$ et de rayon $\sqrt{\dfrac{k-32}{2}}$. Si $k=32$ : un point. Si $k<32$ : l'ensemble vide.

✅ $\mathcal{E}_k$ est un cercle si et seulement si $k>32$.

• Q1 : relation de Chasles avec $I$, disparition des doubles produits, calcul de $2\,IA^2$.

• Q2 : passage de $MI^2=4$ à $MI=2$, description géométrique du cercle.

• Q3 : les deux cas dégénérés (un point, vide) justifiés.

• Q4 : discussion complète selon $k$.

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos120°=6\times9\times\left(-\dfrac12\right)=-27$.

✅ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-27$.

D'après Al-Kashi : $BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\times AC\times\cos120°=36+81-2\times54\times\left(-\dfrac12\right)=117+54=171$.

✅ $BC=\sqrt{171}=3\sqrt{19}\approx 13{,}08$.

$I$ est le milieu de $[BC]$ : $2\,\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

$4\,AI^2=AB^2+AC^2+2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=36+81-54=63$, donc $AI^2=\dfrac{63}{4}$.

✅ $AI=\dfrac{\sqrt{63}}{2}=\dfrac{3\sqrt7}{2}\approx 3{,}97$.

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-27<0$ : $H$ est de l'autre côté de $A$ que $B$ et $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AH$. Donc $AH=\dfrac{27}{6}=\dfrac92$.

Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ : $CH^2=AC^2-AH^2=81-\dfrac{81}{4}=\dfrac{243}{4}$, donc $CH=\dfrac{9\sqrt3}{2}$.

Aire $=\dfrac12\times AB\times CH=\dfrac12\times6\times\dfrac{9\sqrt3}{2}=\dfrac{27\sqrt3}{2}\approx23{,}38$.

Hauteur issue de $A$ : $h=\dfrac{2\times\text{Aire}}{BC}=\dfrac{27\sqrt3}{3\sqrt{19}}=\dfrac{9\sqrt3}{\sqrt{19}}\approx 3{,}58$.

✅ Aire $=\dfrac{27\sqrt3}{2}\approx 23{,}38$ et $h\approx 3{,}58$.

• Q1 : signe négatif justifié par l'angle obtus.

• Q2 : Al-Kashi avec les deux côtés autour de l'angle.

• Q3 : $2\,\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ puis calcul de $AI^2$ avant la racine.

• Q4 : position de $H$ (angle obtus : $H$ hors du segment $[AB]$), puis aire, puis hauteur à partir de l'aire.