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Première Spé Maths / Chapitre 7 : Produit scalaire

Guide de rédaction : produit scalaire

Ce guide complète le Guide de rédaction général. Il rassemble, pour le chapitre Produit scalaire, les seize situations qui reviennent en contrôle et, pour chacune, la rédaction modèle. Dans ce chapitre, la rédaction consiste surtout à écrire les coordonnées avant de calculer, à nommer la formule utilisée et à conclure avec un nombre ou une description géométrique précise.

🎯 Le principe du chapitre

Dans un exercice sur le produit scalaire, un correcteur regarde surtout cinq choses :

  • les coordonnées des vecteurs écrites avant le calcul ;
  • la formule choisie (coordonnées, normes et angle, projeté, Al-Kashi, milieu II) ;
  • les valeurs exactes avant les valeurs approchées ;
  • l'orthogonalité prouvée avec un produit scalaire nul ;
  • la conclusion : angle, longueur, ensemble de points décrit.

1. Les seize situations et leur rédaction modèle

Situation 1 : calculer un produit scalaire avec les coordonnées

« u⃗(3−2)\vec u\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix} et v⃗(14)\vec v\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix} dans un repère orthonormé. u⃗⋅v⃗=3×1+(−2)×4=−5\vec u\cdot\vec v=3\times1+(-2)\times4=-5. »

Situation 2 : calculer un produit scalaire avec la norme et l'angle

« u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ=3×4×cos⁡60°=6\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos\theta=3\times4\times\cos60°=6. »

Situation 3 : calculer un produit scalaire avec le projeté orthogonal

« HH est le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB), du même côté de AA que BB : AB→⋅AC→=AB×AH=8×3=24\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH=8\times3=24. »

⚠️ Si HH est de l'autre côté de AA, le produit vaut −AB×AH-AB\times AH.

Situation 4 : utiliser Chasles

« AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}, donc AB→⋅AC→=AB2+AB→⋅BC→=AB2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB^2+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=AB^2 car (AB)⊥(BC)(AB)\perp(BC). »

Situation 5 : développer un produit scalaire

« ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2. »

⚠️ N'oublie pas le double produit.

Situation 6 : prouver un angle droit

« BA→⋅BC→=0\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0, donc (BA)⊥(BC)(BA)\perp(BC) : ABCABC est rectangle en BB. »

Situation 7 : calculer un angle

« cos⁡BAC^=AB→⋅AC→AB×AC=0,6\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}=0{,}6, donc BAC^≈53,1°\widehat{BAC}\approx53{,}1°. »

💡 Écris la valeur exacte avant l'arrondi.

Situation 8 : déterminer un paramètre

« u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0  ⟺  5m−3=0  ⟺  m=35\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\iff5m-3=0\iff m=\dfrac35. »

Situation 9 : décrire {M : AM→⋅AB→=k}\{M\ :\ \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB}=k\}

« AM→⋅AB→=4(x−1)=k\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB}=4(x-1)=k : c'est une droite perpendiculaire à (AB)(AB). »

Situation 10 : décrire {M : MA→⋅MB→=0}\{M\ :\ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\}

« II est le milieu de [AB][AB], donc MA→⋅MB→=MI2−AB24\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}. Ce produit est nul si et seulement si MI=AB2MI=\dfrac{AB}{2} : MM est sur le cercle de diamètre [AB][AB]. »

Situation 11 : appliquer Al-Kashi

« Dans le triangle ABCABC, d'après la formule d'Al-Kashi : BC2=AB2+AC2−2 AB×AC×cos⁡A^=…BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\times AC\times\cos\widehat{A}=\dots »

Situation 12 : trouver un angle avec trois côtés

« cos⁡A^=b2+c2−a22bc=57\cos\widehat{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac57, donc A^≈44,4°\widehat{A}\approx44{,}4°. »

Situation 13 : calculer la longueur d'une médiane

« II est le milieu de [BC][BC], donc 2 AI→=AB→+AC→2\,\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} et 4 AI2=AB2+AC2+2 AB→⋅AC→4\,AI^2=AB^2+AC^2+2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}, avec 2 AB→⋅AC→=AB2+AC2−BC22\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB^2+AC^2-BC^2. »

Situation 14 : décrire {M : MA2+MB2=k}\{M\ :\ MA^2+MB^2=k\}

« J'introduis II milieu de [AB][AB] : MA→=MI→+IA→\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} et MB→=MI→−IA→\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}. Donc MA2+MB2=2 MI2+AB22MA^2+MB^2=2\,MI^2+\dfrac{AB^2}{2}. On obtient MI2=…MI^2=\dots : cercle, point ou ensemble vide selon le signe. »

Situation 15 : calculer une aire

« HH est le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB). AH=∣AB→⋅AC→∣ABAH=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}|}{AB}, puis CH2=AC2−AH2CH^2=AC^2-AH^2 et aire =12×AB×CH=\dfrac12\times AB\times CH. »

💡 Conclus avec l'unité d'aire.

Situation 16 : retrouver les coordonnées d'un vecteur

« Dans le repère orthonormé (O ;ı⃗,ȷ⃗)(O\,;\vec\imath,\vec\jmath), u⃗⋅ı⃗=x\vec u\cdot\vec\imath=x et u⃗⋅ȷ⃗=y\vec u\cdot\vec\jmath=y, donc u⃗(u⃗⋅ı⃗u⃗⋅ȷ⃗)\vec u\begin{pmatrix}\vec u\cdot\vec\imath\\\vec u\cdot\vec\jmath\end{pmatrix}. »

2. Les erreurs qui coûtent des points

  • Répondre avec un vecteur au lieu d'un nombre.
  • Oublier le double produit dans ∥u⃗+v⃗∥2\|\vec u+\vec v\|^2.
  • Prendre deux vecteurs qui ne partent pas du même sommet.
  • Utiliser xx′+yy′xx'+yy' dans un repère non orthonormé.
  • Oublier le signe moins quand le projeté orthogonal est de l'autre côté de AA.
  • Mauvais angle dans Al-Kashi.
  • Oublier la racine carrée finale.
  • Utiliser les calculs du milieu II avec un point qui n'est pas le milieu.

✅ Check-list avant de rendre la copie

  • J'ai écrit les coordonnées des vecteurs.
  • J'ai nommé la formule (Al-Kashi, Chasles avec II, projeté...).
  • J'ai donné la valeur exacte avant l'arrondi.
  • J'ai conclu « donc rectangle en BB » ou « donc l'angle vaut... ».
  • Mon ensemble de points est décrit (droite, cercle, point, vide).

😄 Un correcteur qui voit « u⃗⋅v⃗=−5\vec u\cdot\vec v=-5 » avec le détail du calcul sourit. Sans le détail, il cherche le feutre rouge.

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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