Première Spé Maths / Chapitre 7 : Produit scalaire

Fiche 3 : théorèmes de la médiane et d'Al-Kashi

Six exercices pour maîtriser Al-Kashi, le milieu $I$ et le projeté orthogonal :

longueur avec Al-Kashi ;
angles d'un triangle de côtés donnés ;
longueur d'une médiane et ensemble de points avec le milieu $I$ ;
projeté orthogonal, hauteur et aire ;
un problème d'arpentage ;
vrai/faux.

Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend d'une bonne copie :

la formule (Al-Kashi, produit scalaire, Pythagore) est écrite avec le bon triangle ;
les valeurs sont remplacées ligne par ligne ;
les unités et les arrondis sont précisés.

💡 Le modèle de rédaction pour Al-Kashi

« Dans le triangle $ABC$ , d'après la formule d'Al-Kashi : $BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\times AC\times\cos\widehat{A}=25+49-70\cos60°=39$ . Donc $BC=\sqrt{39}\approx6{,}2$ . »

Nomme le triangle et le théorème.
Écris la formule avec les lettres, puis avec les valeurs.
Conclus avec l'unité et l'arrondi.

⚠️ Les pièges classiques

Utiliser le mauvais angle (celui qui n'est pas entre les deux côtés).
Oublier la racine carrée à la fin.
Calculer avec la calculatrice en radians.
Utiliser les calculs du milieu avec un point qui n'est pas le milieu.

😄 Al-Kashi, c'est Pythagore qui a enfin le droit de se tromper d'angle.

Exercice 1 (★) : Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$ , $AB=5$ , $AC=7$ et $\widehat{BAC}=60°$ .

1. Calculer $BC$ (valeur exacte puis arrondie au centième).

2. Calculer l'aire du triangle (on pourra utiliser le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $(AB)$ ).

3. Calculer $\widehat{ABC}$ à $0{,}1°$ près.

✏️ Correction de l'exercice 1

Question 1

D'après la formule d'Al-Kashi : $BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\times AC\times\cos\widehat{A}$ .

$BC^2=25+49-2\times5\times7\times\cos60°=74-70\times\dfrac12=39$ .

✅ $BC=\sqrt{39}\approx 6{,}24$ .

Question 2

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos60°=5\times7\times\dfrac12=\dfrac{35}{2}$ .

Ce produit est positif : $H$ est du même côté de $A$ que $B$ et $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH$ . Donc $AH=\dfrac{35/2}{5}=\dfrac72$ .

Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ : $CH^2=AC^2-AH^2=49-\dfrac{49}{4}=\dfrac{147}{4}$ , donc $CH=\dfrac{7\sqrt3}{2}$ .

Aire $=\dfrac12\times AB\times CH=\dfrac12\times5\times\dfrac{7\sqrt3}{2}$ .

✅ Aire $=\dfrac{35\sqrt3}{4}\approx 15{,}16$ unités d'aire.

Question 3

$\cos\widehat{B}=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\times AB\times BC}=\dfrac{25+39-49}{2\times5\times\sqrt{39}}=\dfrac{15}{10\sqrt{39}}$ .

$\cos\widehat{B}\approx 0{,}2402$ .

✅ $\widehat{ABC}\approx 76{,}1°$ .

Exercice 2 (★★) : les trois angles

Un triangle $ABC$ a pour côtés $BC=5$ , $CA=6$ et $AB=7$ .

1. Calculer $\cos\widehat{A}$ puis $\widehat{A}$ (arrondi au dixième de degré).

2. Calculer de même $\widehat{B}$ .

3. En déduire $\widehat{C}$ et vérifier avec Al-Kashi.

4. Vérifier ces trois angles avec le script Python suivant et donner ce qu'il affiche :
from math import acos, degrees

def angle(a, b, c):
    """Angle opposé au côté a, en degrés (formule d'Al-Kashi)."""
    return degrees(acos((b**2 + c**2 - a**2) / (2 * b * c)))


a, b, c = 5, 6, 7  # BC, CA, AB
A = angle(a, b, c)
B = angle(b, a, c)
C = angle(c, a, b)
print(round(A, 1), round(B, 1), round(C, 1), round(A + B + C, 1))

✏️ Correction de l'exercice 2

Question 1

D'après Al-Kashi : $BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\times AC\cos\widehat{A}$ .

$\cos\widehat{A}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\times AB\times AC}=\dfrac{49+36-25}{2\times7\times6}=\dfrac{60}{84}=\dfrac57$ .

✅ $\cos\widehat{A}=\dfrac57$ , donc $\widehat{A}\approx 44{,}4°$ .

Question 2

$\cos\widehat{B}=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\times AB\times BC}=\dfrac{49+25-36}{2\times7\times5}=\dfrac{38}{70}=\dfrac{19}{35}$ .

✅ $\widehat{B}\approx 57{,}1°$ .

Question 3

La somme des angles vaut $180°$ : $\widehat{C}\approx180-44{,}4-57{,}1\approx 78{,}5°$ .

Vérification : $\cos\widehat{C}=\dfrac{BC^2+CA^2-AB^2}{2\times BC\times CA}=\dfrac{25+36-49}{60}=\dfrac{12}{60}=0{,}2$ .

$\arccos(0{,}2)\approx 78{,}5°$ : c'est cohérent.

✅ $\widehat{C}\approx 78{,}5°$ .

Question 4

La fonction angle applique $\cos\widehat{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ au côté opposé à l'angle cherché, puis convertit en degrés.

Le script affiche 44.4 57.1 78.5 180.0.

✅ Les trois angles et leur somme confirment les calculs à la main.

Exercice 3 (★★) : la médiane et le milieu $I$

1. Dans un triangle $ABC$ , $I$ est le milieu de $[BC]$ . Montrer que $4\,AI^2=2\,AB^2+2\,AC^2-BC^2$ . (On pourra écrire $2\,\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ .)

2. Dans un triangle $ABC$ , $AB=6$ , $AC=8$ et $BC=10$ . Calculer la longueur de la médiane $[AI]$ issue de $A$ .

3. Dans un triangle $ABC$ , $AB=7$ , $AC=9$ et $BC=8$ . Calculer $AI$ , où $I$ est le milieu de $[BC]$ .

4. $[AB]$ est un segment de longueur $10$ et $I$ son milieu. Montrer que $MA^2+MB^2=2\,MI^2+50$ pour tout point $M$ , puis déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $MA^2+MB^2=70$ .

✏️ Correction de l'exercice 3

Question 1

Comme $I$ est le milieu de $[BC]$ , $2\,\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ . En prenant le carré : $4\,AI^2=\left\|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right\|^2=AB^2+AC^2+2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ .

D'autre part, $BC^2=\left\|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right\|^2=AB^2+AC^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ , donc $2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB^2+AC^2-BC^2$ .

On remplace : $4\,AI^2=AB^2+AC^2+AB^2+AC^2-BC^2$ .

✅ $4\,AI^2=2\,AB^2+2\,AC^2-BC^2$ .

Question 2

$4\,AI^2=2\times36+2\times64-100=100$ , donc $AI^2=25$ .

✅ $AI=5$ (c'est la moitié de l'hypoténuse : le triangle est rectangle en $A$ car $36+64=100$ ).

Question 3

$4\,AI^2=2\times49+2\times81-64=98+162-64=196$ , donc $AI^2=49$ .

✅ $AI=7$ .

Question 4

On introduit $I$ : $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}$ .

$MA^2+MB^2=\left(MI^2+2\,\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{IA}+IA^2\right)+\left(MI^2-2\,\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{IA}+IA^2\right)=2\,MI^2+2\,IA^2$ .

Comme $IA=\dfrac{AB}{2}=5$ : $MA^2+MB^2=2\,MI^2+50$ .

$MA^2+MB^2=70\iff2\,MI^2=20\iff MI^2=10\iff MI=\sqrt{10}$ .

✅ C'est le cercle de centre $I$ et de rayon $\sqrt{10}$ .

Exercice 4 (★★) : projeté orthogonal, hauteur et aire

On reprend le triangle $ABC$ de l'exercice 1 : $AB=5$ , $AC=7$ , $\widehat{BAC}=60°$ et $BC=\sqrt{39}$ . On note $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ .

1. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ puis $AH$ . Le point $H$ est-il sur le segment $[AB]$ ?

2. Calculer $CH$ (valeur exacte) puis l'aire du triangle $ABC$ .

3. Calculer la hauteur issue de $A$ (arrondie au centième).

4. Calculer $BH$ puis $\cos\widehat{ABC}$ dans le triangle $BHC$ rectangle en $H$ . Comparer avec l'exercice 1.

H est le projeté orthogonal de C sur (AB) : AH = 7/2 et CH = 7√3/2

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5\times7\times\cos60°=\dfrac{35}{2}$ , positif : $H$ est du même côté de $A$ que $B$ .

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH$ donc $AH=\dfrac{35/2}{5}=\dfrac72=3{,}5$ .

✅ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{35}{2}$ et $AH=\dfrac72$ . Comme $0<AH<AB=5$ , $H$ est sur le segment $[AB]$ .

Question 2

Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ : $CH^2=AC^2-AH^2=49-\dfrac{49}{4}=\dfrac{147}{4}$ , donc $CH=\dfrac{7\sqrt3}{2}$ .

Aire $=\dfrac12\times AB\times CH=\dfrac12\times5\times\dfrac{7\sqrt3}{2}=\dfrac{35\sqrt3}{4}$ .

✅ $CH=\dfrac{7\sqrt3}{2}\approx 6{,}06$ et aire $=\dfrac{35\sqrt3}{4}\approx 15{,}16$ unités d'aire.

Question 3

Aire $=\dfrac12\times BC\times h$ , donc $h=\dfrac{2\times\text{Aire}}{BC}=\dfrac{\dfrac{35\sqrt3}{2}}{\sqrt{39}}=\dfrac{35}{2\sqrt{13}}$ .

✅ $h\approx 4{,}85$ unités.

Question 4

$H$ est sur $[AB]$ donc $BH=AB-AH=5-\dfrac72=\dfrac32$ .

Dans le triangle $BHC$ rectangle en $H$ : $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{3/2}{\sqrt{39}}=\dfrac{3}{2\sqrt{39}}$ .

✅ $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{3}{2\sqrt{39}}\approx 0{,}2402$ : c'est la valeur $\dfrac{15}{10\sqrt{39}}$ de l'exercice 1.

Exercice 5 (★★★) : mesurer une distance inaccessible

Pour mesurer la distance $AB$ entre deux points séparés par un étang, on se place en un point $C$ d'où l'on mesure : $CA=120$ m, $CB=150$ m et $\widehat{ACB}=40°$ .

1. Calculer $AB$ à $0{,}1$ m près.

2. Calculer l'aire du triangle $ABC$ (arrondie au m²) à l'aide du projeté orthogonal $H$ de $B$ sur $(CA)$ .

3. Quelle est l'influence sur $AB$ d'une erreur de $1°$ sur l'angle $\widehat{ACB}$ ? (On donnera la valeur de $AB$ pour $41°$ .)

Mesure d’une distance inaccessible AB à travers un étang

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

D'après Al-Kashi dans $ABC$ : $AB^2=CA^2+CB^2-2\,CA\times CB\times\cos\widehat{C}$ .

$AB^2=120^2+150^2-2\times120\times150\times\cos40°=36\,900-36\,000\cos40°\approx 9322$ .

✅ $AB\approx 96{,}6$ m.

Question 2

$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=120\times150\times\cos40°>0$ : $H$ est du même côté de $C$ que $A$ , et $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=CA\times CH$ .

Donc $CH=\dfrac{120\times150\times\cos40°}{120}=150\cos40°\approx 114{,}9$ m.

Dans le triangle $BHC$ rectangle en $H$ : $BH^2=CB^2-CH^2$ , donc $BH\approx 96{,}4$ m (valeurs non arrondies dans le calcul).

Aire $=\dfrac12\times CA\times BH\approx\dfrac12\times120\times 96{,}4$ .

✅ Aire $\approx 5785$ m².

Question 3

Avec $41°$ : $AB^2=36\,900-36\,000\cos41°$ , soit $AB\approx 98{,}6$ m.

L'écart est d'environ $2{,}1$ m pour $1°$ d'erreur, soit environ $2\,\%$ de $AB$ .

✅ Une erreur d'un degré sur l'angle change $AB$ d'environ $2$ m, soit environ $2\,\%$ : l'effet reste modéré.

Exercice 6 (★★) : vrai ou faux

Justifier chaque réponse :

1. Dans un triangle rectangle en $A$ , la formule d'Al-Kashi se réduit au théorème de Pythagore.

2. Dans tout triangle, la médiane issue de $A$ mesure $\dfrac{BC}{2}$ .

3. Un triangle dont les côtés mesurent $3$ , $4$ et $5$ est rectangle.

4. Dans un triangle, si $a^2>b^2+c^2$ , alors $\widehat{A}$ est obtus.

✏️ Correction de l'exercice 6

Affirmation 1

Si $\widehat{A}=90°$ , $\cos\widehat{A}=0$ et $a^2=b^2+c^2$ .

✅ Vrai.

Affirmation 2

Contre-exemple : avec $AB=7$ , $AC=9$ , $BC=8$ , on a $AI=7\neq4$ . C'est vrai seulement si le triangle est rectangle en $A$ .

❌ Faux.

Affirmation 3

$3^2+4^2=25=5^2$ : réciproque de Pythagore.

✅ Vrai.

Affirmation 4

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}$ donc $a^2>b^2+c^2\iff\cos\widehat{A}<0\iff\widehat{A}$ obtus.

✅ Vrai.

🎯 Ce qui peut tomber en contrôle

Calculer une longueur avec Al-Kashi (exercices 1 et 5).
Calculer les angles d'un triangle dont on connaît les côtés (exercice 2).
Utiliser le milieu $I$ pour une médiane ou un ensemble de points (exercice 3).
Calculer une aire et une hauteur avec le projeté orthogonal (exercices 1, 4 et 5).

QCM : vérifie tes acquis

5 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 5

Dans un triangle $ABC$ , la formule d'Al-Kashi donne $BC^2=$ :

Question 2 sur 5

Dans un triangle, $a=5$ , $b=6$ , $c=7$ . Alors $\cos\widehat{A}=$ :

Question 3 sur 5

Soit $I$ le milieu de $[AB]$ . Pour tout point $M$ , $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=$ :

Question 4 sur 5

Dans un triangle $ABC$ , le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $(AB)$ est du même côté de $A$ que $B$ , avec $AB=6$ et $AH=2$ . Alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=$ :

Question 5 sur 5

Dans un triangle rectangle en $A$ , la formule d'Al-Kashi donne :

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Fiche 3 : théorèmes de la médiane et d'Al-Kashi

Exercice 1 (★) : Al-Kashi

Exercice 2 (★★) : les trois angles

Exercice 3 (★★) : la médiane et le milieu III

Exercice 4 (★★) : projeté orthogonal, hauteur et aire

Exercice 5 (★★★) : mesurer une distance inaccessible

Exercice 6 (★★) : vrai ou faux

QCM : vérifie tes acquis

Exercice 3 (★★) : la médiane et le milieu $I$