Fiche 2 : cercle trigonométrique et placement de points

Méthode

Pour chaque réel, on se ramène à un tour.

$\dfrac{\pi}{6}$ est déjà dans $[0\,;\,2\pi[$ : le point $A=M\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ est à $30°$ de $I$, dans le premier quadrant.

$-\dfrac{\pi}{4}$ : on part de $I$ dans le sens indirect de $\dfrac{\pi}{4}$ ($45°$). Le point $B$ est dans le quatrième quadrant ; $-\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{7\pi}{4}$, donc $B=M\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)$.

$\dfrac{7\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+2\pi$ : $C=M\left(\dfrac{7\pi}{3}\right)=M\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$, à $60°$ de $I$.

$-\dfrac{11\pi}{4}+4\pi=-\dfrac{11\pi}{4}+\dfrac{16\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}$ : $D=M\left(-\dfrac{11\pi}{4}\right)=M\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)$, à $225°$ de $I$ (troisième quadrant).

$\dfrac{13\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}+2\pi$ : $E=M\left(\dfrac{13\pi}{6}\right)=M\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.

✅ Les points $M\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ et $M\left(\dfrac{13\pi}{6}\right)$ sont confondus, car $\dfrac{13\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}=2\pi$.

Question 1

On compte les rayons depuis $I$ dans le sens direct.

$A$ : cinq rayons de $\dfrac{\pi}{6}$, donc $\dfrac{5\pi}{6}$. $B$ est le point $J'$ : $\dfrac{3\pi}{2}$. $C$ : cinq rayons de $\dfrac{\pi}{4}$, donc $\dfrac{5\pi}{4}$. $D$ : deux rayons de $\dfrac{\pi}{6}$, donc $\dfrac{\pi}{3}$. $E$ : onze rayons de $\dfrac{\pi}{6}$, donc $\dfrac{11\pi}{6}$.

✅ $A$ : $\dfrac{5\pi}{6}$ ; $B$ : $\dfrac{3\pi}{2}$ ; $C$ : $\dfrac{5\pi}{4}$ ; $D$ : $\dfrac{\pi}{3}$ ; $E$ : $\dfrac{11\pi}{6}$.

Question 2

On retranche $2\pi$ : $\dfrac{5\pi}{6}-2\pi=\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=-\dfrac{7\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{4}-2\pi=\dfrac{5\pi}{4}-\dfrac{8\pi}{4}=-\dfrac{3\pi}{4}$.

✅ $A=M\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right)$ et $C=M\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)$.

Question 3

Les réels dont l'image est $D$ sont $\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

$k=3$ : $\dfrac{\pi}{3}+6\pi=\dfrac{19\pi}{3}\approx19{,}90<20$. $k=4$ : $\dfrac{\pi}{3}+8\pi=\dfrac{25\pi}{3}\approx26{,}18\in[20\,;\,30]$. $k=5$ : $\dfrac{\pi}{3}+10\pi=\dfrac{31\pi}{3}\approx32{,}46>30$.

✅ Un seul réel convient : $\dfrac{25\pi}{3}$.

Question 1

On ramène chaque réel dans $[0\,;\,2\pi[$ :

$-\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{5\pi}{3}$ ; $\dfrac{11\pi}{3}-2\pi=\dfrac{5\pi}{3}$ ; $\dfrac{17\pi}{3}-4\pi=\dfrac{17\pi}{3}-\dfrac{12\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}$.

$\dfrac{7\pi}{3}-2\pi=\dfrac{\pi}{3}$ ; $-\dfrac{5\pi}{3}+2\pi=\dfrac{\pi}{3}$.

✅ Premier groupe (image $M\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)$) : $\dfrac{5\pi}{3}$, $-\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{11\pi}{3}$, $\dfrac{17\pi}{3}$. Second groupe (image $M\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$) : $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{7\pi}{3}$, $-\dfrac{5\pi}{3}$.

Question 2

$\dfrac{8\pi}{3}-\left(-\dfrac{4\pi}{3}\right)=\dfrac{12\pi}{3}=4\pi=2\times2\pi$ : la différence est un multiple entier de $2\pi$.

✅ Oui, $M\left(\dfrac{8\pi}{3}\right)=M\left(-\dfrac{4\pi}{3}\right)$.

Question 3

$7-1=6$ et $0<6<2\pi\approx6{,}28$ : $6$ n'est pas un multiple entier de $2\pi$.

✅ Non, $M(1)\neq M(7)$ (ils sont très proches, mais différents).

Question 4

On ajoute ou on retranche $2\pi$ tant que le réel n'est pas dans $[0\,;\,2\pi[$ :

from math import pi

def reduire(x):
    while x < 0:
        x = x + 2 * pi
    while x >= 2 * pi:
        x = x - 2 * pi
    return x

print(reduire(-pi / 3))       # environ 5.236, soit 5pi/3
print(reduire(25 * pi / 6))   # environ 0.524, soit pi/6

Le test donne bien $\dfrac{5\pi}{3}\approx5{,}236$ et $\dfrac{\pi}{6}\approx0{,}524$. Les valeurs sont des approximations (nombres décimaux). Python propose aussi l'opérateur x % (2 * pi), qui fait la même chose.

✅ La fonction reduire renvoie un réel de $[0\,;\,2\pi[$ qui a la même image que $x$.

Question 1

Deux points consécutifs $M_k$ et $M_{k+1}$ sont séparés par un arc de longueur $\dfrac{\pi}{3}$ : $\widehat{M_kOM_{k+1}}=\dfrac{\pi}{3}$ (et c'est aussi le cas pour $M_5$ et $M_0$, car $2\pi-\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}$).

Le triangle $OM_kM_{k+1}$ est isocèle en $O$ ($OM_k=OM_{k+1}=1$) avec un angle au sommet de $\dfrac{\pi}{3}$ : ses deux angles à la base valent $\dfrac{1}{2}\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\pi}{3}$. Il est équilatéral, donc $M_kM_{k+1}=1$.

✅ Les six côtés mesurent $1$ et les six sommets sont sur le cercle : $M_0M_1\dots M_5$ est un hexagone régulier de côté $1$.

Question 2

$M\left(\dfrac{(k+4)\pi}{2}\right)=M\left(\dfrac{k\pi}{2}+2\pi\right)=M\left(\dfrac{k\pi}{2}\right)$ : les points se répètent tous les $4$ valeurs de $k$. Ce sont $M(0)=I$, $M\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=J$, $M(\pi)=I'$, $M\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=J'$.

Ils sont séparés par des arcs de longueur $\dfrac{\pi}{2}$ : $IJI'J'$ est un carré (ses diagonales $[II']$ et $[JJ']$ sont perpendiculaires, de même longueur $2$ et se coupent en leur milieu $O$). Son côté vaut $IJ=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$.

✅ Il y a $4$ points distincts, qui forment un carré de côté $\sqrt2$.

Question 3

$M\left(\dfrac{(k+12)\pi}{6}\right)=M\left(\dfrac{k\pi}{6}+2\pi\right)=M\left(\dfrac{k\pi}{6}\right)$, et deux valeurs $k$ et $k'$ avec $0\leqslant k<k'\leqslant11$ donnent des points différents car $\dfrac{(k'-k)\pi}{6}<2\pi$ n'est pas un multiple de $2\pi$.

De même pour $\dfrac{k\pi}{5}$ : $\dfrac{(k+10)\pi}{5}=\dfrac{k\pi}{5}+2\pi$.

✅ Il y a $12$ points distincts pour les $M\left(\dfrac{k\pi}{6}\right)$ (un dodécagone régulier) et $10$ pour les $M\left(\dfrac{k\pi}{5}\right)$ (un décagone régulier).

Question 4

Huit sommets régulièrement répartis : l'arc entre deux sommets consécutifs vaut $\dfrac{2\pi}{8}=\dfrac{\pi}{4}$.

✅ Les réels $\dfrac{k\pi}{4}$ pour $k=0,1,\dots,7$ conviennent : $0$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{3\pi}{4}$, $\pi$, $\dfrac{5\pi}{4}$, $\dfrac{3\pi}{2}$, $\dfrac{7\pi}{4}$.

Question 1

On se ramène à un tour :

$M(5\pi)=M(\pi)$ car $5\pi-4\pi=\pi$. $M\left(-\dfrac{7\pi}{2}\right)=M\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ car $-\dfrac{7\pi}{2}+4\pi=\dfrac{\pi}{2}$. $M(100\pi)=M(0)$ car $100\pi=50\times2\pi$. $M\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=M\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$ car $-\dfrac{\pi}{2}+2\pi=\dfrac{3\pi}{2}$. $M\left(\dfrac{41\pi}{2}\right)=M\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ car $\dfrac{41\pi}{2}-20\pi=\dfrac{\pi}{2}$.

✅ $M(5\pi)=I'(-1\,;\,0)$ ; $M\left(-\dfrac{7\pi}{2}\right)=J(0\,;\,1)$ ; $M(100\pi)=I(1\,;\,0)$ ; $M\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=J'(0\,;\,-1)$ ; $M\left(\dfrac{41\pi}{2}\right)=J(0\,;\,1)$.

Question 2

On encadre chaque réel entre des multiples de $\dfrac{\pi}{2}$ ($\dfrac{\pi}{2}\approx1{,}57$, $\pi\approx3{,}14$, $\dfrac{3\pi}{2}\approx4{,}71$, $2\pi\approx6{,}28$).

$x$	Encadrement	Quadrant	$\cos x$	$\sin x$
$2$	$\dfrac{\pi}{2}<2<\pi$	deuxième	$<0$	$>0$
$4$	$\pi<4<\dfrac{3\pi}{2}$	troisième	$<0$	$<0$
$-1$	$-\dfrac{\pi}{2}<-1<0$	quatrième	$>0$	$<0$
$5$	$\dfrac{3\pi}{2}<5<2\pi$	quatrième	$>0$	$<0$

Question 3

$\dfrac{100}{2\pi}\approx15{,}9$ : on peut retrancher $15$ tours, soit $30\pi\approx94{,}25$. Reste $100-30\pi\approx5{,}75$.

Or $\dfrac{3\pi}{2}\approx4{,}71<5{,}75<2\pi\approx6{,}28$ : quatrième quadrant, donc $\cos100>0$ et $\sin100<0$.

✅ À la calculatrice : $\cos100\approx0{,}862$ et $\sin100\approx-0{,}506$, ce qui confirme les signes.

Affirmation 1

$\dfrac{3\pi}{2}-\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=2\pi$.

✅ Vrai.

Affirmation 2

Contre-exemple : $M(0)=M(2\pi)=I$ avec $0\neq2\pi$.

❌ Faux.

Affirmation 3

On parcourt la même longueur $\dfrac{\pi}{3}$ depuis $I$, dans deux sens opposés : les deux points sont symétriques par rapport à $(OI)$.

✅ Vrai.

Affirmation 4

$10-2\pi\approx3{,}72$ et $\pi\approx3{,}14<3{,}72<\dfrac{3\pi}{2}\approx4{,}71$.

✅ Vrai.

Affirmation 5

$J=M\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ et $\dfrac{\pi}{2}+2\pi=\dfrac{5\pi}{2}$ appartient aussi à $[0\,;\,4\pi[$ : il y en a deux, $\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{5\pi}{2}$.

❌ Faux.

Affirmation 6

Ajouter $\pi$ revient à faire un demi-tour de plus : $M(x+\pi)$ est le symétrique de $M(x)$ par rapport à $O$, donc ils sont aux extrémités d'un diamètre.

✅ Vrai.