Fiche 1 : radians et longueur d'arc

Question 1

On multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$.

$30\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{6}$.

$135\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{3\pi}{4}$ (car $135=3\times45$).

$210\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{6}$ (car $210=7\times30$).

$72\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{2\pi}{5}$ (car $72=2\times36$ et $180=5\times36$).

✅ $30°=\dfrac{\pi}{6}$ ; $135°=\dfrac{3\pi}{4}$ ; $210°=\dfrac{7\pi}{6}$ ; $72°=\dfrac{2\pi}{5}$.

Question 2

On multiplie par $\dfrac{180}{\pi}$.

$\dfrac{\pi}{12}\to\dfrac{180}{12}=15$.

$\dfrac{5\pi}{3}\to\dfrac{5\times180}{3}=300$.

$\dfrac{2\pi}{5}\to\dfrac{2\times180}{5}=72$.

$\dfrac{7\pi}{4}\to\dfrac{7\times180}{4}=315$.

✅ $\dfrac{\pi}{12}=15°$ ; $\dfrac{5\pi}{3}=300°$ ; $\dfrac{2\pi}{5}=72°$ ; $\dfrac{7\pi}{4}=315°$.

Question 3

$1\text{ rad}=\dfrac{180}{\pi}\ \text{degrés}\approx57{,}3°$.

$50°=50\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{18}\approx0{,}87$ rad.

✅ $1\text{ rad}\approx57{,}3°$ et $50°\approx0{,}87$ rad.

Question 1

$\ell=R\,\alpha=5\times\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{10\pi}{3}\approx10{,}47$.

✅ L'arc mesure $\dfrac{10\pi}{3}$ cm, soit environ $10{,}5$ cm.

Question 2

$\alpha=\dfrac{\ell}{R}=\dfrac{4}{6}=\dfrac23$ rad $\approx0{,}67$ rad.

En degrés : $\dfrac23\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{120}{\pi}\approx38{,}2°$.

✅ L'angle vaut $\dfrac23$ rad, soit environ $38{,}2°$.

Question 3

$R=\dfrac{\ell}{\alpha}=\dfrac{3\pi}{\pi/5}=3\pi\times\dfrac{5}{\pi}=15$.

✅ Le rayon vaut $15$ cm.

Question 4

L'angle est en degrés : on convertit d'abord. $45°=\dfrac{\pi}{4}$ rad.

$\ell=R\,\alpha=8\times\dfrac{\pi}{4}=2\pi\approx6{,}28$.

✅ L'arc mesure $2\pi$ cm, soit environ $6{,}28$ cm.

Question 1

$\ell=R\,\alpha=0{,}33\times\dfrac{5\pi}{6}=0{,}275\,\pi\approx0{,}864$.

✅ $P$ parcourt environ $0{,}86$ m.

Question 2

Un tour correspond à $\alpha=2\pi$ : $\ell=0{,}33\times2\pi=0{,}66\,\pi\approx2{,}07$.

✅ Un tour de roue mesure environ $2{,}07$ m.

Question 3

$1$ km $=1000$ m. Nombre de tours : $\dfrac{1000}{0{,}66\,\pi}\approx482{,}3$.

✅ Il faut environ $482$ tours de roue.

Question 4

$\alpha=\dfrac{\ell}{R}=\dfrac{1}{0{,}33}=\dfrac{100}{33}\approx3{,}03$ rad.

Un demi-tour correspond à $\pi\approx3{,}14$ rad, et $3{,}03<3{,}14$.

✅ La roue a tourné d'environ $3{,}03$ rad, soit un peu moins d'un demi-tour.

Question 1

$20$ min sur $60$ min : $\dfrac13$ de tour, soit $\alpha=\dfrac13\times2\pi=\dfrac{2\pi}{3}$ rad.

$\ell=12\times\dfrac{2\pi}{3}=8\pi\approx25{,}1$.

✅ L'extrémité parcourt $8\pi$ cm, environ $25{,}1$ cm.

Question 2

De $14$ h à $17$ h $30$ : $3{,}5$ h sur $12$ h pour un tour, soit $\dfrac{3{,}5}{12}=\dfrac{7}{24}$ de tour, donc $\alpha=\dfrac{7}{24}\times2\pi=\dfrac{7\pi}{12}$ rad.

$\ell=8\times\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{14\pi}{3}\approx14{,}7$.

✅ L'extrémité parcourt $\dfrac{14\pi}{3}$ cm, environ $14{,}7$ cm.

Question 3

À $16$ h, l'aiguille des heures a avancé de $4$ h sur $12$ h : $\dfrac{4}{12}=\dfrac13$ de tour.

✅ L'angle vaut $\dfrac{2\pi}{3}$ rad (soit $120°$).

Question 4

$\ell=R\,\alpha$ donne $\alpha=\dfrac{6\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}$ rad, soit un quart de tour.

Un tour dure $60$ min, un quart de tour dure $15$ min.

✅ Il faut $15$ minutes.

Question 1

$\dfrac{5\pi}{2}=2\pi+\dfrac{\pi}{2}$ : un tour complet, puis un quart de tour dans le sens direct.

✅ On fait $1$ tour complet et on arrive en $J$.

Question 2

$-3\pi=-2\pi-\pi$ : un tour complet dans le sens indirect, puis un demi-tour dans le sens indirect.

✅ On fait $1$ tour complet et on arrive en $I'$.

Question 3

Un tour mesure $2\pi\approx6{,}28$ et $10-6{,}28=3{,}72$ : un seul tour complet, puis un arc de longueur $3{,}72$.

Or $\pi\approx3{,}14<3{,}72<\dfrac{3\pi}{2}\approx4{,}71$ : le point est entre $I'$ et $J'$.

✅ On fait $1$ tour complet et on arrive dans le troisième quadrant.

Question 4

$J'=M\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$, donc les réels dont l'image est $J'$ sont $\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi$.

$k=0$ : $\dfrac{3\pi}{2}\approx4{,}71$ ; $k=1$ : $\dfrac{7\pi}{2}\approx10{,}99$ ; $k=2$ : $\dfrac{11\pi}{2}\approx17{,}28$ ; $k=3$ : $\dfrac{15\pi}{2}\approx23{,}56>20$.

✅ $\dfrac{3\pi}{2}$, $\dfrac{7\pi}{2}$ et $\dfrac{11\pi}{2}$.

Affirmation 1

Avec $R=1$ : $\ell=R\,\alpha=1\times2=2$.

✅ Vrai.

Affirmation 2

$1\text{ rad}=\dfrac{180}{\pi}\approx57{,}3°$.

❌ Faux.

Affirmation 3

$\ell=R\,\alpha$ : si $R$ double et $\alpha$ est fixe, $\ell$ double.

✅ Vrai.

Affirmation 4

$\alpha=\dfrac{\ell}{R}=\dfrac{\pi}{2}$ rad, pas $\pi$.

❌ Faux.

Affirmation 5

$\dfrac{7\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}=2\pi$ : les deux réels diffèrent d'un tour.

✅ Vrai.

Affirmation 6

Un tour complet vaut $2\pi$ rad, soit $360°$.

❌ Faux.