Guide de rédaction : fonction exponentielle

🎯 Le principe du chapitre

Dans un exercice avec exponentielle, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• la règle de calcul nommée à chaque étape ;
• la phrase « pour tout réel $x$, $e^x>0$ » quand un signe est justifié ;
• la dérivée factorisée par l'exponentielle ;
• la stricte croissance citée pour comparer des exponentielles ;
• la conclusion : une phrase, avec l'unité en contexte.

Situation 1 : simplifier une expression

« $e^{2x+1}\times e^{-x}=e^{2x+1-x}=e^{x+1}$ car $e^a\times e^b=e^{a+b}$. »

💡 Une règle, une ligne.

Situation 2 : démontrer une identité avec $e^{-x}$

« On multiplie le numérateur et le dénominateur par $e^x$, qui est non nul : $\dfrac{1}{1+e^{-x}}=\dfrac{e^x}{e^x+1}$. »

Situation 3 : justifier un signe

« Pour tout réel $x$, $e^x>0$. Donc $f(x)$ a le signe de $x-1$. »

⚠️ Cette phrase doit toujours apparaître.

Situation 4 : dériver $e^{at}$ ou $e^{ax+b}$

« $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(e^{at})'=a\,e^{at}$. Pour $e^{ax+b}$, on écrit $e^{ax+b}=e^b\times e^{ax}$, donc $f'(x)=a\,e^{ax+b}$. »

💡 N'oublie pas le facteur $a$.

Situation 5 : dériver un produit

« $f=uv$ avec $u(x)=x+1$ et $v(x)=e^x$. $f'=u'v+uv'=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x$. »

Situation 6 : dériver un quotient

« $g=\dfrac{u}{v}$ avec $v(x)=e^x+1>0$. $g'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$. »

💡 Vérifie que le dénominateur ne s'annule pas.

Situation 7 : étudier le signe d'une dérivée

« $f'(x)=(x-1)e^x$. Pour tout réel $x$, $e^x>0$ : $f'(x)$ a le signe de $x-1$. Donc $f'(x)<0$ si $x<1$ et $f'(x)>0$ si $x>1$. »

Situation 8 : dresser un tableau de variations

« D'où le tableau, avec $f(1)=-e$. $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,1]$ et strictement croissante sur $[1\,;\,+\infty[$. »

💡 Écris les images.

Situation 9 : résoudre $e^{f(x)}=e^{g(x)}$

« La fonction exponentielle est strictement croissante, donc $e^{2x}=e^{x+3}\iff 2x=x+3\iff x=3$. »

Situation 10 : résoudre une inéquation

« $e^{2x+1}\geqslant e^3\iff 2x+1\geqslant 3$ car $\exp$ est strictement croissante. »

Situation 11 : poser $X=e^x$

« On pose $X=e^x$, avec $X>0$. L'équation devient $X^2+X-2=0$. Les racines sont $-2$ et $1$. $-2<0$ est rejetée. $e^x=1$ donne $x=0$. »

⚠️ Rejette les racines $\leqslant 0$.

Situation 12 : montrer qu'il n'y a pas de solution

« Pour tout réel $x$, $e^x>0$. Donc $e^x=-3$ n'a aucune solution. »

Situation 13 : démontrer $e^x\geqslant x+1$

« Soit $h(x)=e^x-x-1$. $h'(x)=e^x-1$. $h'(x)<0$ si $x<0$ et $h'(x)>0$ si $x>0$. $h$ est minimale en $0$ avec $h(0)=0$. Donc $h(x)\geqslant 0$. »

Situation 14 : reconnaître une suite géométrique

« $u_{n+1}=e^{3(n+1)+1}=e^{3n+1}\times e^3=e^3\,u_n$. $(u_n)$ est géométrique de raison $e^3$. »

Situation 15 : conclure un problème de modélisation

« La concentration est maximale $2$ heures après l'injection et vaut environ $3{,}68$ mg/L. »

💡 Une phrase, une unité.

✅ Check-list avant de rendre la copie

• J'ai écrit $e^x>0$ chaque fois que j'ai justifié un signe.
• J'ai factorisé la dérivée par l'exponentielle.
• J'ai cité la croissance de l'exponentielle pour comparer des exposants.
• J'ai rejeté les valeurs $X\leqslant 0$ après un changement de variable.
• Dans un problème, j'ai conclu avec une phrase et une unité.

😄 Une copie sans « $e^x>0$ », c'est une recette de gâteau sans le mot « four » : tout le monde comprend, mais personne ne met de bonne note.