Fiche 2 : dérivées et variations

Question 1

$(e^{at})'=a\,e^{at}$ avec $a=3$.

✅ $f'(x)=3e^{3x}$

Question 2

On écrit $g(x)=e^{-2x+1}=e\times e^{-2x}$, puis on dérive $e^{-2x}$ avec $a=-2$ : $g'(x)=e\times(-2)e^{-2x}$.

✅ $g'(x)=-2e^{-2x+1}$

Question 3

$h(x)=5\times e^{0{,}5x}$ : on garde le coefficient $5$ et on multiplie par $0{,}5$.

✅ $h'(x)=2{,}5\,e^{0{,}5x}$

Question 4

La dérivée est la somme des dérivées.

✅ $k'(x)=e^{x}+2x$

Question 1

Avec $u=x+1$, $v=e^x$ : $u'=1$, $v'=e^x$.

$f'(x)=1\times e^x+(x+1)e^x=e^x\,(1+x+1)$.

✅ $f'(x)=(x+2)e^{x}$

Question 2

Avec $u=2x-3$, $v=e^{-x}$ : $u'=2$, $v'=-e^{-x}$.

$g'(x)=2e^{-x}+(2x-3)\times(-e^{-x})=e^{-x}\,\big(2-(2x-3)\big)$.

$g'(x)=e^{-x}\,(2-2x+3)$.

✅ $g'(x)=(5-2x)e^{-x}$

Question 3

Avec $u=x^2$, $v=e^x$ : $u'=2x$, $v'=e^x$.

$h'(x)=2xe^x+x^2e^x=e^x\,(2x+x^2)$.

✅ $h'(x)=x(x+2)e^{x}$

Question 1

Avec $u=e^x$, $v=x$ : $u'=e^x$, $v'=1$ et $v$ ne s'annule pas sur $]0\,;\,+\infty[$.

$f'(x)=\dfrac{e^x\times x-e^x\times 1}{x^2}=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}$.

✅ $f'(x)=\dfrac{(x-1)e^{x}}{x^{2}}$

Question 2

Avec $u=e^x$, $v=e^x+1$ : $u'=e^x$, $v'=e^x$. Le dénominateur $e^x+1>0$ ne s'annule pas.

$g'(x)=\dfrac{e^x(e^x+1)-e^x\times e^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{e^{2x}+e^x-e^{2x}}{(e^x+1)^2}$.

✅ $g'(x)=\dfrac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}$

Question 3

Avec $u=x$, $v=e^x$ : $u'=1$, $v'=e^x$.

$h'(x)=\dfrac{1\times e^x-x\,e^x}{(e^x)^2}=\dfrac{e^x(1-x)}{e^{2x}}=(1-x)\,e^{x-2x}$.

✅ $h'(x)=(1-x)e^{-x}$

Question 1

$f$ est dérivable sur $[-3\,;\,3]$ comme produit de fonctions dérivables.

Avec $u=x-2$ et $v=e^x$ : $f'(x)=1\times e^x+(x-2)e^x=e^x\,(1+x-2)$.

✅ $f'(x)=(x-1)e^{x}$

Question 2

Pour tout $x$, $e^x>0$ : $f'(x)$ a le signe de $x-1$.

$f'(x)<0$ sur $[-3\,;\,1[$, $f'(1)=0$ et $f'(x)>0$ sur $]1\,;\,3]$.

On calcule $f(-3)=-5e^{-3}\approx -0{,}25$, $f(1)=-e\approx -2{,}72$ et $f(3)=e^{3}\approx 20{,}09$.

$x$	$-3$		$1$		$3$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f$	$-5e^{-3}$	↘	$-e$	↗	$e^{3}$

✅ $f$ est strictement décroissante sur $[-3\,;\,1]$ et strictement croissante sur $[1\,;\,3]$.

Question 3

Le minimum est atteint en $x=1$. Le maximum est atteint à une borne : $f(3)\approx 20{,}09$ est supérieur à $f(-3)\approx -0{,}25$.

✅ Le minimum de $f$ sur $[-3\,;\,3]$ est $-e$ (en $1$) et son maximum est $e^{3}$ (en $3$).

Question 4

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Or $e^x\neq 0$.

Donc $f(x)=0\iff x-2=0\iff x=2$.

On vérifie : $2\in[-3\,;\,3]$.

✅ L'équation $f(x)=0$ a une unique solution : $x=2$.

Question 1

$f$ est dérivable sur $[0\,;\,5]$. Avec $u=x$ et $v=e^{-x}$ : $u'=1$, $v'=-e^{-x}$.

$f'(x)=1\times e^{-x}+x\times(-e^{-x})=e^{-x}\,(1-x)$.

✅ $f'(x)=(1-x)e^{-x}$

Question 2

Pour tout $x$, $e^{-x}>0$ : $f'(x)$ a le signe de $1-x$.

$f'(x)>0$ sur $[0\,;\,1[$, $f'(1)=0$ et $f'(x)<0$ sur $]1\,;\,5]$.

On calcule $f(0)=0$, $f(1)=e^{-1}\approx0{,}37$ et $f(5)=5e^{-5}\approx0{,}034$.

$x$	$0$		$1$		$5$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f$	$0$	↗	$e^{-1}$	↘	$5e^{-5}$

✅ $f$ est strictement croissante sur $[0\,;\,1]$ et strictement décroissante sur $[1\,;\,5]$.

Question 3

Le maximum de $f$ est atteint en $x=1$ et vaut $f(1)=e^{-1}\approx0{,}37$.

✅ La concentration est maximale $1$ heure après la prise : environ $0{,}37$ mg/L.

Question 4

D'après le tableau, pour tout $x\in[0\,;\,5]$, $f(x)\leqslant f(1)=e^{-1}\approx0{,}37<0{,}5$.

✅ L'équation $f(x)=0{,}5$ n'a aucune solution sur $[0\,;\,5]$ : la concentration n'atteint jamais $0{,}5$ mg/L.

Question 5

On continue tant que la concentration est strictement inférieure à $0{,}1$ :

while x * exp(-x) < 0.1:

On a $f(0{,}11)\approx0{,}0985<0{,}1$ et $f(0{,}12)\approx0{,}1064\geqslant0{,}1$.

✅ Le script affiche $0{,}12$ : la concentration atteint $0{,}1$ mg/L environ $0{,}12$ h (soit $7$ minutes) après la prise.

Affirmation 1

$(e^{2x})'=2e^{2x}$, et $2e^{2x}\neq e^{2x}$ (en $0$ : $2\neq 1$).

❌ Faux.

Affirmation 2

Dérivée d'un produit : $(xe^x)'=e^x+xe^x=(x+1)e^x$. En $x=1$ : $2e\neq e$.

❌ Faux.

Affirmation 3

$(e^{-x})'=-e^{-x}<0$ pour tout réel $x$.

✅ Vrai.

Affirmation 4

$f'(x)=2xe^x+(x^2+1)e^x=e^x\left(x^2+2x+1\right)=(x+1)^2e^x$.

Pour tout $x$, $f'(x)\geqslant 0$, et $f'(x)=0$ seulement en $x=-1$ (un seul point).

Une dérivée positive qui ne s'annule qu'en un point isolé donne une fonction strictement croissante.

✅ Vrai.

Question 1

$e^{k\times0}=e^0=1$ pour tout $k$.

✅ Toutes passent par le point $(0\,;\,1)$.

Question 2

Si $f(x)=e^{kx}$, alors $f'(x)=ke^{kx}$ et $f'(0)=k$ : la pente en $0$ vaut $k$.

$k>0$ : la courbe est croissante ; $k<0$ : elle est décroissante.

Plus $|k|$ est grand, plus la pente en $0$ est forte.

✅ A : $e^{2x}$ ; B : $e^{x}$ ; C : $e^{-x}$ ; D : $e^{-2x}$.

Question 3

Pour $x>0$ : $2x>x$ donc $e^{2x}>e^x$ (la fonction exponentielle est croissante).

✅ Pour $x<0$ : $2x<x$ donc $e^{2x}<e^{x}$. Les courbes se coupent en $x=0$.

Question 1

for n in [1, 10, 100, 1000, 10**6]:
    print(n, (1 + 1 / n) ** n)

On obtient environ $2$ ; $2{,}5937$ ; $2{,}7048$ ; $2{,}7169$ ; $2{,}71828$.

Question 2

✅ Les valeurs augmentent et semblent se rapprocher de $e\approx2{,}71828$. On admet que $\left(1+\dfrac1n\right)^n$ tend vers $e$ quand $n$ tend vers l'infini.

La convergence est lente : il faut $10^6$ pour obtenir cinq décimales.

Question 1

La fonction $\exp$ vérifie $\exp'=\exp$ : la tangente en $(x_k\,;\,y_k)$ a pour coefficient directeur $\exp'(x_k)=\exp(x_k)\approx y_k$.

Pour $h$ petit, la courbe est proche de sa tangente : $\exp(x_k+h)\approx\exp(x_k)+\exp'(x_k)\,h\approx y_k+h\,y_k$.

✅ On avance d'un pas $h$ le long de la tangente : $y_{k+1}=y_k+h\,y_k$.

Question 2

$y_1=1+0{,}5\times1=1{,}5$ ; $y_2=1{,}5\times1{,}5=2{,}25$ ; $y_3=3{,}375$ ; $y_4=5{,}0625$.

Le point d'abscisse $x_4=2$ est donc $(2\,;\,5{,}0625)$, alors que $e^2\approx7{,}389$.

✅ $y_4=5{,}0625$ : l'écart avec $e^2$ est d'environ $2{,}33$, soit $31\,\%$. Le pas $0{,}5$ est trop grand.

Question 3

$y_{k+1}=y_k+h\,y_k=(1+h)\,y_k$ : la suite est géométrique de raison $1+h$ et de premier terme $y_0=1$.

Donc $y_k=(1+h)^k$. Pour $h=0{,}1$ : $y_{20}=1{,}1^{20}\approx6{,}7275$.

✅ $y_k=(1+h)^k$ et $y_{20}\approx6{,}7275$ pour $h=0{,}1$.

Question 4

def euler(h, n):
    Y = [1]
    for k in range(n):
        Y.append(Y[-1] + h * Y[-1])
    return Y

for n in (4, 20, 200):
    Y = euler(2 / n, n)
    print(n, Y[-1])

On obtient environ $5{,}0625$ ; $6{,}7275$ ; $7{,}3160$.

✅ Plus le pas est petit, plus $y_n$ se rapproche de $e^2\approx7{,}389$ : la ligne brisée d'Euler suit de mieux en mieux la courbe de l'exponentielle, mais la convergence est lente.