Fiche 1 : propriétés algébriques

Les calculs

$A=e^{3+(-5)}$ car $e^a\times e^b=e^{a+b}$.

✅ $A=e^{-2}$

$B=e^{4-(-1)}$ car $\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$.

✅ $B=e^{5}$

$C=e^{2\times(-3)}$ car $(e^a)^n=e^{na}$.

✅ $C=e^{-6}$

$D=\dfrac{e^{3+(-5)}}{e^{-1}}=\dfrac{e^{-2}}{e^{-1}}=e^{-2-(-1)}$.

✅ $D=e^{-1}$

$E=\dfrac{1}{e^{-2}}=e^{-(-2)}$ car $\dfrac{1}{e^a}=e^{-a}$.

✅ $E=e^{2}$

Les calculs

$A(x)=e^{3x+(-x)}$.

✅ $A(x)=e^{2x}$

$B(x)=e^{(x+1)-(x-2)}=e^{x+1-x+2}$.

✅ $B(x)=e^{3}$

$C(x)=e^{-2x}\times e^{3x}=e^{-2x+3x}$.

✅ $C(x)=e^{x}$

$D(x)=e^x\times e^{-x}+e^x\times 1=e^{0}+e^x$.

✅ $D(x)=1+e^{x}$

$E(x)=\dfrac{e^{2x}}{e^x}-\dfrac{1}{e^x}=e^{2x-x}-e^{-x}$.

✅ $E(x)=e^{x}-e^{-x}$

Question 1

On reconnaît $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$ avec $a=e^x$ et $b=e^{-x}$.

Développons : $(a+b)^2-(a-b)^2=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab$.

Ici $ab=e^x\times e^{-x}=e^{0}=1$.

✅ Pour tout réel $x$ : $\left(e^{x}+e^{-x}\right)^2-\left(e^{x}-e^{-x}\right)^2=4$.

Question 2

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $e^x$, qui est non nul :

$\dfrac{1}{1+e^{-x}}=\dfrac{e^x}{e^x\left(1+e^{-x}\right)}=\dfrac{e^x}{e^x+e^x\times e^{-x}}=\dfrac{e^x}{e^x+1}$.

✅ $\dfrac{1}{1+e^{-x}}=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$.

Question 3

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $e^x$ (non nul) :

$\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\dfrac{e^x\left(e^x-e^{-x}\right)}{e^x\left(e^x+e^{-x}\right)}=\dfrac{e^{2x}-e^{0}}{e^{2x}+e^{0}}$.

✅ $\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$.

Question 1

$e^{2x}=e^{x+x}=e^x\times e^x$.

Donc $f(x)=e^x\times e^x-e^x\times 1=e^x\left(e^x-1\right)$.

✅ $f(x)=e^{x}\left(e^{x}-1\right)$.

Question 2

La fonction exponentielle est strictement croissante et $e^0=1$.

Donc $e^x>1\iff e^x>e^0\iff x>0$, et $e^x<1\iff x<0$.

✅ $e^{x}-1<0$ sur $]-\infty\,;\,0[$, $e^{x}-1=0$ en $0$ et $e^{x}-1>0$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

Question 3

Pour tout réel $x$, $e^x>0$. Le signe de $f(x)$ est donc celui de $e^x-1$.

✅ $f(x)<0$ sur $]-\infty\,;\,0[$, $f(0)=0$ et $f(x)>0$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

Question 1

Pour tout entier $n$ : $u_{n+1}=e^{3(n+1)+1}=e^{3n+4}=e^{3n+1}\times e^{3}=e^3\,u_n$.

Le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=e^3$ est constant.

Le premier terme est $u_0=e^{1}=e$.

✅ $(u_n)$ est géométrique de raison $q=e^{3}$ et de premier terme $u_0=e$.

Question 2

La raison $q=e^3\approx 20{,}09$ est strictement supérieure à $1$ et $u_0>0$.

✅ $(u_n)$ est strictement croissante.

Question 3

Somme de $5$ termes d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ : $S=u_0\times\dfrac{1-q^{5}}{1-q}$.

$S=e\times\dfrac{1-\left(e^{3}\right)^{5}}{1-e^{3}}=e\times\dfrac{1-e^{15}}{1-e^{3}}$.

✅ $S=\dfrac{e\left(e^{15}-1\right)}{e^{3}-1}$.

Affirmation 1

Contre-exemple : avec $a=b=0$, $e^0+e^0=2$ et $e^{0+0}=1$.

❌ Faux.

Affirmation 2

Pour tout réel $X$, $e^X>0$. Avec $X=-x$ : $e^{-x}>0$.

✅ Vrai.

Affirmation 3

Contre-exemple : $x=0$ donne $e^{0}=1$ et $2e^{0}=2$.

❌ Faux.

Affirmation 4

$\dfrac{e^x}{e^{-x}}=e^{x-(-x)}=e^{2x}$.

✅ Vrai.

Affirmation 5

Une exponentielle est strictement positive : $e^x=-1$ est impossible.

❌ Faux.