Première Spé Maths / Chapitre 4 : Variations et courbes représentatives

Variations et courbes représentatives : le cours

Un entrepreneur veut le bénéfice maximal, un cuisinier la température idéale, un ingénieur la forme la plus économique. Dans tous les cas, la question est la même : où une grandeur est-elle la plus grande, ou la plus petite ?

La dérivée répond à cette question.

Elle dit si une fonction monte ou descend, donc où elle change de direction.

Ce chapitre t'apprend à en tirer un tableau de variations, à repérer les extremums, à lire une courbe, à profiter d'une parité et à résoudre des problèmes d'optimisation.

Dans tout le cours, tu verras des astuces 💡, des pièges ⚠️ et un peu d'humour 😄.

1. Dérivée et sens de variation

Pourquoi ? $f'(a)$ est la pente de la tangente. Une tangente qui monte indique que la courbe monte ; une tangente qui descend, que la courbe descend.

Exemple. $f(x)=x^2-6x+5$ a pour dérivée $f'(x)=2x-6=2(x-3)$. Pour $x<3$, $f'(x)<0$ : $f$ décroît ; pour $x>3$, $f'(x)>0$ : $f$ croît.

2. Étudier les variations d'une fonction

Exemple. Étudions $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ sur $[0\,;5]$.

$f$ est un polynôme, dérivable sur $[0\,;5]$. $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$.

Le trinôme $x^2-4x+3$ a pour racines $1$ et $3$ et un coefficient $a=1>0$ : il est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles. On calcule $f(0)=1$, $f(1)=5$, $f(3)=1$ et $f(5)=21$.

$f$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$, strictement décroissante sur $[1\,;3]$, strictement croissante sur $[3\,;5]$.

3. Extremums

Exemple. Pour la fonction étudiée plus haut sur $[0\,;5]$ : maximum local $f(1)=5$ ; minimum local $f(3)=1$.

Mais l'extremum sur $[0\,;5]$ n'est pas le même : le maximum de $f$ sur $[0\,;5]$ est $f(5)=21$ (atteint à la borne) ; le minimum est $1$, atteint en $0$ et en $3$.

Exemple. Pour la fonction étudiée plus haut, les tangentes aux points d'abscisses $1$ et $3$ ont pour équations $y=5$ et $y=1$.

Le mot à retenir est condition nécessaire : si $f(a)$ est un extremum local intérieur, alors $f'(a)=0$. La réciproque est fausse ($x^3$ en $0$) : $f'(a)=0$ n'est pas une condition suffisante. Ce qui suffit, c'est que $f'$ s'annule en changeant de signe.

Attention aux bornes. En une borne de $I$, l'extremum n'impose rien sur $f'$ : la fonction $x\mapsto x$ sur $[0\,;1]$ a son minimum en $0$, et pourtant $f'(0)=1$.

4. Lecture du tableau et nombre de solutions de $f(x)=k$ (propriété admise)

Sur un intervalle où $f$ est strictement monotone, une valeur $k$ comprise entre les images des bornes est atteinte exactement une fois. Cette propriété est admise : le programme de Première ne la démontre pas (sa justification est vue en Terminale). On s'en sert seulement pour lire un tableau de variations, comme on lirait une courbe, afin de compter les solutions d'une équation $f(x)=k$ : on regarde, intervalle par intervalle, si $k$ est atteint.

Exemple. Avec le tableau précédent ($f(0)=1$, $f(1)=5$, $f(3)=1$, $f(5)=21$) :

• $k=3$ : la valeur $3$ est comprise entre $1$ et $5$ sur $[0\,;1]$ et sur $[1\,;3]$, et entre $1$ et $21$ sur $[3\,;5]$ : trois solutions ;
• $k=5$ : atteinte en $x=1$ (maximum local) et une fois sur $[3\,;5]$ : deux solutions ;
• $k=30$ : supérieure à $21$, le maximum de $f$ : aucune solution.

On peut le vérifier : $f(x)=3\iff(x-2)(x^2-4x+1)=0$ donne $x=2$ et $x=2\pm\sqrt3$, soit trois solutions de $[0\,;5]$.

5. Fonction polynôme du second degré

Cas $a>0$

Cas $a<0$

L'extremum vaut $f(\alpha)=-\dfrac\Delta{4a}$, et le sommet de la parabole est le point $S(\alpha\,;f(\alpha))$, situé sur son axe de symétrie $x=\alpha$. C'est ce que dit la forme canonique du chapitre 1 : $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\beta=f(\alpha)$.

Exemple. $f(x)=x^2-4x-1$ a pour dérivée $f'(x)=2x-4=2(x-2)$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;2]$, croissante sur $[2\,;+\infty[$, avec le minimum $f(2)=4-8-1=-5$. Pour $g(x)=-x^2+4x+1$, $g'(x)=-2x+4=-2(x-2)$ : $g$ est croissante puis décroissante, avec le maximum $g(2)=-4+8+1=5$.

6. Exemple : polynômes de degré 3

Le programme ne donne pas de résultat général sur les polynômes de degré $3$ : on les étudie au cas par cas, avec les cinq temps. Leur dérivée $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ est un trinôme, dont on sait lire le signe avec ses racines ou son discriminant $\Delta$. Sur les exemples du chapitre, on observe :

• $\Delta>0$ : $f'$ s'annule deux fois en changeant de signe : deux extremums locaux (un maximum et un minimum), la courbe fait un « S » ;
• $\Delta\le0$ : $f'$ garde un signe constant (elle s'annule au plus en un point, sans changer de signe) : $f$ est strictement monotone, sans extremum.

Exemples. $f(x)=x^3-3x$ : $f'(x)=3(x-1)(x+1)$, deux extremums locaux. $g(x)=x^3+x$ : $g'(x)=3x^2+1>0$, $g$ est strictement croissante sur $\R$.

7. Une fonction rationnelle et une inégalité

Étudions $f(x)=x+\dfrac4x$ sur $]0\,;+\infty[$. $f$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables et

Pour $x>0$, $x^2>0$ et $x+2>0$ : $f'(x)$ est du signe de $x-2$.

$f$ est strictement décroissante sur $]0\,;2]$ et strictement croissante sur $[2\,;+\infty[$, donc le minimum de $f$ sur $]0\,;+\infty[$ est $f(2)=4$. On en déduit l'inégalité :

💡 Démontrer une inégalité par les variations : on cherche le minimum de la différence ou de la fonction, et on montre qu'il est supérieur à la valeur voulue.

8. Position relative de deux courbes

Exemple 1. $f(x)=x^3$ et $g(x)=x$. On factorise : $f(x)-g(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)$.

$f(x)-g(x)<0$ sur $]-\infty\,;-1[$, positif sur $]-1\,;0[$, négatif sur $]0\,;1[$ et positif sur $]1\,;+\infty[$. Les courbes se coupent en $(-1\,;-1)$, $(0\,;0)$ et $(1\,;1)$.

Exemple 2 : une courbe et sa tangente. $f(x)=x^3$ a pour tangente en $1$ la droite $T : y=f'(1)(x-1)+f(1)=3(x-1)+1=3x-2$. On factorise :

La courbe est au-dessous de $T$ pour $x<-2$ et au-dessus pour $x>-2$, avec $x\neq1$. Elle coupe $T$ en $x=-2$, et en $x=1$ elle touche $T$ (point de tangence) sans changer de côté, car le facteur $(x-1)^2$ ne change pas de signe.

9. Fonctions paires et impaires

Exemples. Les fonctions $x\mapsto x^2$, $x\mapsto x^4$ et $x\mapsto\dfrac1{x^2}$ sont paires ; $x\mapsto x$, $x\mapsto x^3$ et $x\mapsto\dfrac1x$ sont impaires. La fonction $h(x)=x^2+x$ n'est ni paire ni impaire : $h(1)=2$ et $h(-1)=0$, qui n'est ni $h(1)$ ni $-h(1)$.

Méthode. On calcule $f(-x)$ et on compare avec $f(x)$ et $-f(x)$. Pour $f(x)=x^4-2x^2$ : $f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2=x^4-2x^2=f(x)$, donc $f$ est paire. Pour $g(x)=x^3-3x$ : $g(-x)=-x^3+3x=-g(x)$, donc $g$ est impaire.

Exemple. Pour $g(x)=x^3-3x$ sur $[-2\,;2]$, on étudie $[0\,;2]$ : $g'(x)=3(x-1)(x+1)$, $g(0)=0$, $g(1)=-2$, $g(2)=2$. Comme $g$ est impaire, on complète avec $g(-1)=2$ et $g(-2)=-2$, et le sens de variation est le même de chaque côté de $0$ :

10. Problèmes d'optimisation

Exemple : la boîte de volume maximal. On part d'une feuille carrée de $30$ cm de côté.

On découpe un carré de côté $x$ dans chaque coin et on replie les bords pour former une boîte sans couvercle.

Quel $x$ rend le volume maximal ?

La base est un carré de côté $30-2x$ et la hauteur est $x$. Il faut $x>0$ et $30-2x>0$, donc $x\in]0\,;15[$. Le volume, en cm³, est donné par la formule suivante, qui garde un sens en $0$ et en $15$ (boîte « plate » de volume nul) : on l'étudie donc sur $[0\,;15]$.

$V$ est dérivable sur $[0\,;15]$ comme produit de fonctions dérivables. Avec $u(x)=x$ et $v(x)=(30-2x)^2$, on a $v'(x)=2\times(-2)(30-2x)=-4(30-2x)$, donc

Sur $]0\,;5[$, les deux facteurs $x-15$ et $x-5$ sont négatifs : $V'>0$. Sur $]5\,;15[$, $x-15<0$ et $x-5>0$ : $V'<0$.

Conclusion : le volume est maximal pour $x=5$ cm. La boîte a alors une base de $20$ cm sur $20$ cm, une hauteur de $5$ cm, et un volume de $2\,000$ cm³.

11. Python

def V(x):
    return x * (30 - 2 * x) ** 2

meilleur = 0
x_opt = 0
for k in range(0, 1501):
    x = k / 100
    if V(x) > meilleur:
        meilleur = V(x)
        x_opt = x
print(x_opt, meilleur)

12. Algorithme : méthode de Newton (cas favorables)

Pour trouver une valeur approchée d'une solution de $f(x)=0$, on part d'un point $x_0$ puis on remplace la courbe par sa tangente : l'abscisse où la tangente coupe l'axe des abscisses est une meilleure approximation.

Exemple. $f(x)=x^2-2$ et $x_0=2$. Ici $f'(x)=2x$, donc $x_{n+1}=x_n-\dfrac{x_n^2-2}{2x_n}$. La fonction Python ci-dessous renvoie la liste des termes $x_0,x_1,\dots,x_n$ :

def newton(f, df, x0, n):
    termes = [x0]
    for _ in range(n):
        x = termes[-1]
        termes.append(x - f(x) / df(x))
    return termes

def f(x):
    return x**2 - 2

def df(x):
    return 2 * x

print(newton(f, df, 2, 4))

Le script affiche [2, 1.5, 1.4166666666666667, 1.4142156862745099, 1.4142135623746899]. On retrouve $\sqrt2\approx1{,}41421356$ : le nombre de décimales exactes double environ à chaque étape.

13. Les 12 pépites du chapitre

14. Ce qui peut tomber en contrôle

• Étudier les variations d'un polynôme ou d'un quotient et dresser le tableau (fiche 1).
• Lire une courbe, tracer une allure à partir d'un tableau, utiliser la parité (fiches 1 et 3).
• Déterminer les extremums, étudier un trinôme et résoudre un problème d'optimisation (fiche 2).
• Une étude de fonction complète : tableau, tangente, position relative (fiche 3).
• Démontrer une inégalité par les variations.
• Appliquer la méthode de Newton à la main et avec Python (fiche 3, synthèse).

Tu as maintenant le cours. Passe aux trois fiches, aux exercices de synthèse, puis au Guide de rédaction du chapitre.