Fiche 3 : études de fonctions complètes

Question 1

$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ : $f'$ est négative entre $0$ et $2$, positive à l'extérieur.

$f(-1)=-1-3+4=0$, $f(0)=4$, $f(2)=8-12+4=0$, $f(4)=64-48+4=20$.

$x$	$-1$		$0$		$2$		$4$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$0$	↗	$4$	↘	$0$	↗	$20$

✅ $f$ est croissante sur $[-1\,;0]$, décroissante sur $[0\,;2]$, croissante sur $[2\,;4]$.

Question 2

$(x+1)(x-2)^2=(x+1)(x^2-4x+4)=x^3-4x^2+4x+x^2-4x+4=x^3-3x^2+4=f(x)$ ✓.

Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : $x+1=0$ ou $x-2=0$.

✅ $f(x)=0\iff x=-1$ ou $x=2$.

Question 3

$f(1)=1-3+4=2$ et $f'(1)=3\times1\times(1-2)=-3$.

$y=f'(1)(x-1)+f(1)=-3(x-1)+2$

✅ La tangente a pour équation $y=-3x+5$.

Question 4

Sur $[-1\,;0]$, $f$ croît de $0$ à $4$ : la valeur $4$ est atteinte en $x=0$.

Sur $[0\,;2]$, $f$ décroît de $4$ à $0$ : elle n'atteint $4$ qu'en $x=0$.

Sur $[2\,;4]$, $f$ croît de $0$ à $20$ : elle atteint $4$ une fois.

✅ L'équation $f(x)=4$ a $2$ solutions.

Calcul : $f(x)=4\iff x^3-3x^2=0\iff x^2(x-3)=0$.

✅ $S=\{0\,;3\}$

Question 1

$u(x)=x^2-4$, $u'(x)=2x$, $v(x)=x^2+1$, $v'(x)=2x$, et $v>0$ sur $\R$.

$f'(x)=\dfrac{2x(x^2+1)-(x^2-4)\times2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2x^3+2x-2x^3+8x}{(x^2+1)^2}$

✅ $f'(x)=\dfrac{10x}{(x^2+1)^2}$

Le dénominateur est strictement positif : $f'$ est du signe de $x$. De plus $f(0)=-4$.

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$		↘	$-4$	↗

✅ $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Question 2

✅ Le minimum de $f$ est $-4$, atteint en $x=0$.

$f(x)=0\iff x^2-4=0$ (le dénominateur ne s'annule jamais) $\iff x=-2$ ou $x=2$.

✅ $S=\{-2\,;2\}$

Question 3

$f(x)-1=\dfrac{x^2-4-(x^2+1)}{x^2+1}=\dfrac{-5}{x^2+1}$.

Pour tout réel $x$, $x^2+1>0$, donc $f(x)-1<0$.

✅ La courbe est strictement en dessous de la droite $y=1$ sur $\R$ : elles n'ont aucun point commun.

Question 1

$f'(x)=3x^2+2ax+b$. Un extremum local en $2$ impose $f'(2)=0$ : $12+4a+b=0$.

Et $f(2)=-4$ : $8+4a+2b=-4$, soit $4a+2b=-12$ ou $2a+b=-6$.

De la première équation, $b=-12-4a$. En remplaçant : $2a-12-4a=-6$, donc $-2a=6$ et $a=-3$. Puis $b=-12+12=0$.

✅ $a=-3$ et $b=0$, soit $f(x)=x^3-3x^2$.

Question 2

$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ : négative entre $0$ et $2$, positive à l'extérieur.

$f(-1)=-1-3=-4$, $f(0)=0$, $f(2)=8-12=-4$, $f(3)=27-27=0$.

$x$	$-1$		$0$		$2$		$3$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-4$	↗	$0$	↘	$-4$	↗	$0$

✅ En $x=2$, $f'$ passe de $-$ à $+$ : $f(2)=-4$ est bien un minimum local.

Question 3

$f(x)=-4\iff x^3-3x^2+4=0\iff(x+1)(x-2)^2=0$ (factorisation de l'exercice 1).

✅ L'équation a $2$ solutions : $x=-1$ et $x=2$.

Cohérent avec le tableau : $-4$ est atteint en $x=-1$ (borne) et au minimum local en $x=2$.

Question 1

$f'(x)=1-\dfrac1{(x+1)^2}=\dfrac{(x+1)^2-1}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.

✅ $f'(x)=\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}$

Sur $]-1\,;+\infty[$, $x+2>0$ et $(x+1)^2>0$ : $f'$ est du signe de $x$. De plus $f(0)=0+1=1$.

$x$	$-1$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$		↘	$1$	↗

✅ $f$ est strictement décroissante sur $]-1\,;0]$ et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Question 2

$f(0)=1$ et $f'(0)=0$ : la tangente est horizontale.

✅ $y=1$

Question 3

$f(x)-x=\dfrac1{x+1}$. Sur $]-1\,;+\infty[$, $x+1>0$, donc $f(x)-x>0$.

✅ La courbe est strictement au-dessus de la droite $y=x$ sur $]-1\,;+\infty[$.

Question 4

$f(x)=2\iff x+\dfrac1{x+1}=2\iff x(x+1)+1=2(x+1)\iff x^2-x-1=0$.

Le discriminant vaut $1+4=5$, donc $x=\dfrac{1-\sqrt5}2\approx-0{,}62$ ou $x=\dfrac{1+\sqrt5}2\approx1{,}62$.

Les deux valeurs sont supérieures à $-1$ : elles appartiennent à l'intervalle d'étude.

✅ $S=\left\{\dfrac{1-\sqrt5}2\,;\dfrac{1+\sqrt5}2\right\}$

Question 1

$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$ : négative entre $1$ et $3$, positive à l'extérieur.

$f(0)=-2$, $f(1)=1-6+9-2=2$, $f(3)=27-54+27-2=-2$, $f(5)=125-150+45-2=18$.

$x$	$0$		$1$		$3$		$5$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-2$	↗	$2$	↘	$-2$	↗	$18$

✅ $f$ est croissante sur $[0\,;1]$, décroissante sur $[1\,;3]$, croissante sur $[3\,;5]$.

Question 2

$(x-2)(x^2-4x+1)=x^3-4x^2+x-2x^2+8x-2=x^3-6x^2+9x-2=f(x)$ ✓.

$f(x)=0\iff x=2$ ou $x^2-4x+1=0$. Le discriminant vaut $16-4=12$, donc $x=\dfrac{4\pm2\sqrt3}2=2\pm\sqrt3$.

✅ $S=\{2-\sqrt3\,;2\,;2+\sqrt3\}$

Les trois valeurs sont dans $[0\,;5]$ ($2-\sqrt3\approx0{,}27$ et $2+\sqrt3\approx3{,}73$), ce qui est cohérent avec le tableau : sur chaque intervalle de monotonie, $f$ passe par $0$ (de $-2$ à $2$, de $2$ à $-2$, puis de $-2$ à $18$).

Question 3

Le facteur $x^2-4x+1$ a pour racines $2-\sqrt3$ et $2+\sqrt3$ et un coefficient $a=1>0$ : il est positif à l'extérieur, négatif entre elles.

$x$	$0$		$2-\sqrt3$		$2$		$2+\sqrt3$		$5$
$x-2$		$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x^2-4x+1$		$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

✅ $f(x)\ge0\iff x\in\left[2-\sqrt3\,;2\right]\cup\left[2+\sqrt3\,;5\right]$.

Question 1

$g'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. Sur $[0\,;+\infty[$, $x+1>0$ : $g'$ est du signe de $x-1$. De plus $g(1)=1-3+2=0$.

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
$g'(x)$		$-$	$0$	$+$
$g(x)$	$2$	↘	$0$	↗

✅ $g$ est strictement décroissante sur $[0\,;1]$ et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$.

Question 2

Le minimum de $g$ sur $[0\,;+\infty[$ est $g(1)=0$ : pour tout $x\ge0$, $g(x)\ge0$, c'est-à-dire $x^3-3x+2\ge0$.

✅ Pour tout $x\ge0$, $x^3\ge3x-2$.

L'égalité n'a lieu que si $g(x)=0$, c'est-à-dire en $x=1$ (seul point où le minimum est atteint).

Vérification : $g(x)=(x-1)^2(x+2)$, qui est nul seulement en $x=1$ sur $[0\,;+\infty[$ ✓.

Question 1

$f(x)-g(x)=x^2-x+1-2x+1=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.

Ce trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

✅ $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $]-\infty\,;\,1[\cup]2\,;\,+\infty[$, au-dessous sur $]1\,;\,2[$, et les courbes se coupent en $(1\,;\,1)$ et $(2\,;\,3)$.

Question 2

$h'(x)=2x$ donc $x_{n+1}=x_n-\dfrac{x_n^2-5}{2x_n}$.

$x_1=3-\dfrac{9-5}{6}=3-\dfrac23=\dfrac73\approx2{,}333$.

$x_2=\dfrac73-\dfrac{\frac{49}9-5}{\frac{14}3}=\dfrac73-\dfrac{4/9}{14/3}=\dfrac73-\dfrac{2}{21}=\dfrac{47}{21}\approx2{,}238$.

✅ $x_1=\dfrac73$ et $x_2=\dfrac{47}{21}$.

Question 3

$x_2=\dfrac{47}{21}\approx2{,}2381$ n'est pas encore assez précis : l'écart avec $\sqrt5\approx2{,}23607$ vaut environ $0{,}002$.

Un terme de plus : $x_3=x_2-\dfrac{x_2^2-5}{2x_2}=\dfrac{2207}{987}\approx2{,}236069$.

Vérification : $2{,}236^2=4{,}999696<5<5{,}00014321=2{,}2361^2$, donc $2{,}236<\sqrt5<2{,}2361$.

✅ $\sqrt5\approx2{,}236$.

Question 1

L'intervalle $[-3\,;3]$ est symétrique par rapport à $0$ et $f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2=x^4-2x^2=f(x)$.

✅ $f$ est paire : $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Question 2

$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$. Sur $]0\,;3]$, $x>0$ et $x+1>0$ : $f'$ est du signe de $x-1$. $f(0)=0$, $f(1)=-1$, $f(3)=81-18=63$.

$x$	$0$		$1$		$3$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f$	$0$	↘	$-1$	↗	$63$

✅ $f$ est décroissante sur $[0\,;1]$ et croissante sur $[1\,;3]$.

Question 3

$f$ étant paire, les variations sur $[-3\,;0]$ sont contraires : $f$ décroît sur $[-3\,;-1]$ puis croît sur $[-1\,;0]$, avec $f(-3)=63$ et $f(-1)=-1$.

$x$	$-3$		$-1$		$0$		$1$		$3$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$63$	↘	$-1$	↗	$0$	↘	$-1$	↗	$63$

✅ Le minimum de $f$ est $-1$ (en $x=-1$ et en $x=1$) et son maximum est $63$ (en $x=-3$ et en $x=3$) ; $f(0)=0$ est un maximum local.

Question 4

$(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1=f(x)+1$. Un carré est positif ou nul : $f(x)+1\ge0$, nul seulement pour $x=\pm1$.

✅ $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $d$ sur $[-3\,;3]$ et touche $d$ aux points $(-1\,;-1)$ et $(1\,;-1)$, où $d$ est la tangente (minimum, $f'=0$).

Question 5

$f(x)=x^2(x^2-2)=0\iff x=0$ ou $x^2=2$.

✅ $S=\{-\sqrt2\,;0\,;\sqrt2\}$.

Question 1

La tangente en $a$ a pour équation $y=f(a)+f'(a)(x-a)=a^2-3+2a(x-a)$. Elle coupe l'axe des abscisses si $a^2-3+2a(x-a)=0$, soit $x=a-\dfrac{a^2-3}{2a}$.

✅ $x=\dfrac{2a^2-a^2+3}{2a}=\dfrac{a^2+3}{2a}$.

Question 2

$x_1=\dfrac{4+3}{4}=\dfrac74=1{,}75$ et $x_2=\dfrac{\frac{49}{16}+3}{\frac72}=\dfrac{97}{56}\approx1{,}73214$.

✅ $x_1=\dfrac74$ et $x_2=\dfrac{97}{56}$ ; on a $\sqrt3\approx1{,}73205$.

Question 3

def newton(f, df, x0, n):
    termes = [x0]
    for _ in range(n):
        x = termes[-1]
        termes.append(x - f(x) / df(x))
    return termes

def newton_seuil(f, df, x0, eps):
    x = x0
    etapes = 0
    while abs(f(x)) > eps:
        x = x - f(x) / df(x)
        etapes = etapes + 1
    return x, etapes

f = lambda x: x**2 - 3
df = lambda x: 2 * x
print(newton(f, df, 2, 4))
print(newton_seuil(f, df, 2, 1e-10))

Le premier appel affiche [2, 1.75, 1.7321428571428572, 1.7320508100147276, 1.7320508075688772], le second (1.7320508075688772, 4) : quatre étapes suffisent.

✅ Les termes se stabilisent sur $\sqrt3\approx1{,}7320508$ : cas favorable.

Question 4

$g'(x)=3x^2-2$. $x_1=0-\dfrac{g(0)}{g'(0)}=0-\dfrac{2}{-2}=1$, puis $x_2=1-\dfrac{g(1)}{g'(1)}=1-\dfrac11=0$, puis $x_3=1$.

✅ Les termes valent $0,1,0,1,\dots$ : la méthode ne converge pas. Ce n'est pas un cas favorable : $x_0=0$ est loin de la solution de $g(x)=0$ (environ $-1{,}77$).