Fiche 2 : extremums et optimisation

Question 1

$f'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)$.

✅ $f'(x)=3(x-2)(x+2)$

Question 2

Le trinôme $x^2-4$ est positif à l'extérieur de ses racines $-2$ et $2$, négatif entre elles.

$f(-3)=-27+36=9$, $f(-2)=-8+24=16$, $f(2)=8-24=-16$, $f(3)=27-36=-9$.

$x$	$-3$		$-2$		$2$		$3$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$9$	↗	$16$	↘	$-16$	↗	$-9$

✅ $f$ est croissante sur $[-3\,;-2]$, décroissante sur $[-2\,;2]$, croissante sur $[2\,;3]$.

Question 3

Les valeurs aux bornes sont $f(-3)=9$ et $f(3)=-9$, comprises entre $-16$ et $16$.

✅ Le maximum de $f$ sur $[-3\,;3]$ est $16$ (en $x=-2$) et son minimum est $-16$ (en $x=2$).

Question 1

$f'(x)=3ax^2+b$. Un extremum local en $1$ impose $f'(1)=0$, soit $3a+b=0$.

De plus $f(1)=-2$, soit $a+b=-2$.

✅ $3a+b=0$ et $a+b=-2$

Question 2

On soustrait les deux équations : $(3a+b)-(a+b)=0-(-2)$, donc $2a=2$ et $a=1$. Puis $b=-2-a=-3$.

✅ $a=1$ et $b=-3$, soit $f(x)=x^3-3x$.

Question 3

$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ : $f'$ est négative entre $-1$ et $1$, positive à l'extérieur.

En $x=1$, $f'$ passe de $-$ à $+$ : $f$ descend, puis monte.

✅ $f(1)=-2$ est un minimum local.

En $x=-1$, $f'$ passe de $+$ à $-$ et $f(-1)=-1+3=2$.

✅ L'autre extremum local est le maximum local $f(-1)=2$.

Question 1

$M(q)=\dfrac{0{,}5q^2+10q+200}q$ : on divise chaque terme par $q$.

✅ $M(q)=0{,}5q+10+\dfrac{200}q$

Question 2

$M'(q)=0{,}5+200\times\left(-\dfrac1{q^2}\right)=0{,}5-\dfrac{200}{q^2}$.

On met au même dénominateur : $M'(q)=\dfrac{0{,}5q^2-200}{q^2}=\dfrac{q^2-400}{2q^2}$.

✅ $M'(q)=\dfrac{(q-20)(q+20)}{2q^2}$

Question 3

Pour $q>0$, $2q^2>0$ et $q+20>0$ : $M'(q)$ est du signe de $q-20$.

$M(20)=0{,}5\times20+10+\dfrac{200}{20}=10+10+10=30$.

$x$	$0$		$20$		$+\infty$
$M'(q)$		$-$	$0$	$+$
$M(q)$		↘	$30$	↗

✅ $M$ est strictement décroissante sur $]0\,;20]$ et strictement croissante sur $[20\,;+\infty[$.

Question 4

✅ Le coût moyen est minimal pour $q=20$ objets : il vaut alors $30$ € par objet.

Remarque : on retrouve $C'(20)=30$ : au minimum du coût moyen, le coût marginal est égal au coût moyen.

Question 1

La boîte a pour base un rectangle de côtés $24-2x$ et $15-2x$, et pour hauteur $x$. Il faut $x>0$, $24-2x>0$ et $15-2x>0$.

✅ $x\in]0\,;7{,}5[$ (on étudie la formule de $V$ sur $[0\,;7{,}5]$ : aux bornes, la boîte est plate et $V=0$)

Question 2

$V(x)=x(24-2x)(15-2x)=x(360-78x+4x^2)$.

✅ $V(x)=4x^3-78x^2+360x$

$V'(x)=12x^2-156x+360=12(x^2-13x+30)$. Le trinôme $x^2-13x+30$ a pour racines $3$ et $10$ (car $3+10=13$ et $3\times10=30$).

✅ $V'(x)=12(x-3)(x-10)$

Question 3

Sur $[0\,;7{,}5]$, $x-10<0$. Donc $V'(x)$ est du signe contraire de $x-3$ : positive pour $x<3$, négative pour $x>3$.

$V(0)=0$, $V(3)=3\times18\times9=486$ et $V(7{,}5)=7{,}5\times9\times0=0$.

$x$	$0$		$3$		$7{,}5$
$V'(x)$		$+$	$0$	$-$
$V(x)$	$0$	↗	$486$	↘	$0$

✅ $V$ est strictement croissante sur $[0\,;3]$ et strictement décroissante sur $[3\,;7{,}5]$.

Question 4

✅ Le volume est maximal pour $x=3$ cm.

La boîte mesure alors $24-6=18$ cm sur $15-6=9$ cm, avec une hauteur de $3$ cm.

✅ Son volume maximal est $486$ cm³.

Question 1

$f'(x)=1-\dfrac9{x^2}=\dfrac{x^2-9}{x^2}$.

✅ $f'(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x^2}$

Question 2

Pour $x>0$, $x^2>0$ et $x+3>0$ : $f'(x)$ est du signe de $x-3$. De plus $f(3)=3+3=6$.

$x$	$0$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$		↘	$6$	↗

✅ $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;3]$ et strictement croissante sur $[3\,;+\infty[$.

Question 3

D'après le tableau, $f$ est décroissante jusqu'en $3$, puis croissante : son minimum sur $]0\,;+\infty[$ est $f(3)=6$.

✅ Pour tout $x>0$, $f(x)\ge6$, c'est-à-dire $x+\dfrac9x\ge6$.

Question 4

Comme $f(x)\ge6>5$ pour tout $x>0$, la valeur $5$ n'est jamais atteinte.

✅ L'équation $x+\dfrac9x=5$ n'a aucune solution.

Question 5

Pour $x>0$ : $x+\dfrac9x=10\iff x^2+9=10x\iff x^2-10x+9=0$.

Le discriminant vaut $100-36=64$, donc $x=\dfrac{10-8}2=1$ ou $x=\dfrac{10+8}2=9$. Les deux sont strictement positives.

✅ $S=\{1\,;9\}$

Affirmation 1

Contre-exemple : $f(x)=x$ sur $[0\,;1]$ a pour minimum $0$, atteint à la borne $0$, alors que $f'(x)=1\neq0$.

❌ Faux.

Affirmation 2

$f$ descend, puis monte : c'est la définition d'un minimum local.

✅ Vrai.

Affirmation 3

Contre-exemple : $f(x)=x^3-3x$ sur $[-2\,;3]$. $f'(x)=3(x-1)(x+1)$ passe de $+$ à $-$ en $-1$, donc $f(-1)=2$ est un maximum local. Pourtant $f(3)=27-9=18>2$ : le maximum de $f$ sur $[-2\,;3]$ est atteint à la borne.

❌ Faux.

Affirmation 4

$f'(x)=3x^2\ge0$ ne change pas de signe en $0$ : $f$ est strictement croissante sur $\R$, sans extremum.

❌ Faux.

Question 1

$a=2>0$ : $f$ décroît puis croît. $f'(x)=4x-8=4(x-2)$ est négative pour $x<2$ et positive pour $x>2$. $f(2)=8-16+3=-5$.

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f$		↘	$-5$	↗

Forme canonique : $f(x)=2(x-2)^2-5$ (car $2(x^2-4x+4)-5=2x^2-8x+3$), donc $f(x)\ge-5$ avec égalité en $2$.

✅ $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;2]$, croissante sur $[2\,;+\infty[$ ; son minimum est $-5$, atteint en $x=2$.

Question 2

$a=-3<0$ : $g$ croît puis décroît. $g'(x)=-6x+6=-6(x-1)$ est positive pour $x<1$, négative pour $x>1$. $g(1)=-3+6+1=4$.

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f$		↗	$4$	↘

Forme canonique : $g(x)=-3(x-1)^2+4$.

✅ $g$ est croissante sur $]-\infty\,;1]$, décroissante sur $[1\,;+\infty[$ ; son maximum est $4$, atteint en $x=1$.

Question 3

$p(x)=-2x^2+10x+c$ (car la dérivée de $-2x^2+10x$ est $-4x+10$) et $p(0)=c=-1$.

Le coefficient de $x^2$ vaut $-2<0$ : parabole tournée vers le bas. Le sommet a pour abscisse $\dfrac{-10}{2\times(-2)}=\dfrac52$ et $p\left(\dfrac52\right)=-12{,}5+25-1=11{,}5$.

✅ $p(x)=-2x^2+10x-1$ ; parabole tournée vers le bas, de sommet $S\left(\dfrac52\,;\,\dfrac{23}2\right)$.

Question 1

Le grillage sert pour les deux côtés de longueur $x$ et pour le côté parallèle au mur : celui-ci mesure $60-2x$. Il faut $x>0$ et $60-2x>0$.

✅ Le côté parallèle au mur mesure $60-2x$ et $x\in]0\,;30[$.

Question 2

✅ $A(x)=x(60-2x)=-2x^2+60x$.

Question 3

On étudie la formule de $A$ sur $[0\,;30]$ (aux bornes l'enclos est aplati : $A=0$). $A'(x)=-4x+60=-4(x-15)$ : positive pour $x<15$, négative pour $x>15$. $A(15)=15\times30=450$.

$x$	$0$		$15$		$30$
$A'(x)$		$+$	$0$	$-$
$A$	$0$	↗	$450$	↘	$0$

✅ L'aire est maximale pour $x=15$ m : l'enclos mesure $15$ m sur $30$ m (côté parallèle au mur), pour une aire de $450$ m².

Question 4

$A(x)=-2(x^2-30x)=-2\left[(x-15)^2-225\right]=-2(x-15)^2+450$. Comme $(x-15)^2\ge0$, on a $A(x)\le450$ avec égalité si et seulement si $x=15$.

✅ On retrouve l'aire maximale $450$ m², atteinte pour $x=15$ m.