Guide de rédaction : dérivation

🎯 Le principe du chapitre

Avec la dérivation, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• le taux de variation simplifié par $h$ avant de faire tendre $h$ vers $0$ ;
• les fonctions $u$, $u'$, $v$, $v'$ écrites avant d'appliquer une formule ;
• la formule citée (produit, inverse, quotient) ;
• la tangente en trois temps : $f(a)$, $f'(a)$, équation ;
• la conclusion en contexte, avec l'unité pour une interprétation.

Situation 1 : calculer un nombre dérivé avec la définition

« Pour $h\neq0$, $\dfrac{f(2+h)-f(2)}h=\dfrac{(2+h)^2-3(2+h)+2}h=\dfrac{h^2+h}h=1+h$. Quand $h$ tend vers $0$, ce taux tend vers $1$. Donc $f$ est dérivable en $2$ et $f'(2)=1$. »

⚠️ Simplifie par $h$ avant de faire tendre $h$ vers $0$.

Situation 2 : dériver un polynôme

« $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ comme somme de fonctions dérivables, et pour tout réel $x$, $f'(x)=6x-5$. »

Situation 3 : dériver un produit

« $f=uv$ avec $u(x)=2x-3$, $u'(x)=2$, $v(x)=x^2+x+1$, $v'(x)=2x+1$. Donc $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2(x^2+x+1)+(2x-3)(2x+1)=6x^2-2x-1$. »

Situation 4 : dériver un quotient

« $f=\dfrac uv$ avec $u(x)=3x-1$, $u'(x)=3$, $v(x)=x+2$, $v'(x)=1$, et $v$ ne s'annule pas sur $]-2\,;+\infty[$. Donc $f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{3(x+2)-(3x-1)}{(x+2)^2}=\dfrac7{(x+2)^2}$. »

Situation 5 : dériver un inverse ou une puissance négative

« $f=\dfrac1v$ avec $v(x)=4x-1$, $v'(x)=4$, et $v$ ne s'annule pas sur $\left]\dfrac14\,;+\infty\right[$. Donc $f'(x)=-\dfrac{v'(x)}{\left(v(x)\right)^2}=-\dfrac4{(4x-1)^2}$. »

« $\dfrac2{x^2}=2x^{-2}$, donc sa dérivée est $2\times(-2)x^{-3}=-\dfrac4{x^3}$. »

💡 Réécris $\dfrac1{x^n}$ en $x^{-n}$ avant de dériver.

Situation 6 : écrire l'équation d'une tangente

« $f(3)=-2$ et $f'(x)=2x-4$, donc $f'(3)=2$. La tangente au point d'abscisse $3$ a pour équation $y=f'(3)(x-3)+f(3)=2(x-3)-2=2x-8$. »

Situation 7 : trouver les tangentes horizontales

« $f'(x)=3x(x-2)$. La tangente est horizontale si et seulement si $f'(x)=0$, c'est-à-dire $x=0$ ou $x=2$. Les tangentes horizontales ont pour équations $y=f(0)=2$ et $y=f(2)=-2$. »

Situation 8 : trouver une tangente parallèle à une droite

« La droite $d$ a pour coefficient directeur $2$. La tangente en $a$ est parallèle à $d$ si et seulement si $f'(a)=2$ : $2a-4=2$, donc $a=3$. La tangente a pour équation $y=2(x-3)+f(3)=2x-4$. »

⚠️ On compare avec le coefficient directeur de $d$, pas avec son ordonnée à l'origine.

Situation 9 : étudier la position relative d'une courbe et d'une tangente

« $f(x)-(2x-1)=x^2-4x+4=(x-2)^2\ge0$. La courbe est donc au-dessus de sa tangente, avec un seul point commun, d'abscisse $2$. »

💡 On factorise la différence : c'est ce qui rend le signe lisible.

Situation 10 : lire un nombre dérivé sur un graphique et construire une tangente

« La tangente en $A\,(1\,;3)$ passe par $B\,(3\,;7)$. Son coefficient directeur est $\dfrac{7-3}{3-1}=2$. Donc $f'(1)=2$. »

« On sait que $f'(-2)=-1$ et que $D\,(-2\,;1)$ est sur la courbe : à partir de $D$, j'avance de $1$ vers la droite et je descends de $1$, puis je trace la droite qui passe par $D$ et le point $(-1\,;0)$. »

Situation 11 : utiliser l'approximation linéaire

« Avec $f(x)=\sqrt x$ et $a=25$ : $f(25)=5$ et $f'(25)=\dfrac1{10}$. Donc $\sqrt{25{,}3}\approx f(25)+f'(25)\times0{,}3=5{,}03$. »

Situation 12 : interpréter un nombre dérivé

« $h'(1)=10$ : à l'instant $t=1$ s, le ballon monte à la vitesse instantanée de $10$ m/s. De même, $C'(20)=30$ : fabriquer le $21^{\text{e}}$ objet coûte environ $30$ €. »

💡 Écris une phrase, avec l'instant ou la quantité et l'unité.

Situation 13 : montrer qu'une fonction n'est pas dérivable en un point

« Pour $h>0$, le taux de variation entre $0$ et $h$ vaut $\dfrac{\sqrt h-\sqrt0}h=\dfrac1{\sqrt h}$, qui n'a pas de limite finie quand $h$ tend vers $0$. Donc la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$. »

Situation 14 : écrire la liste des coefficients directeurs de sécantes (Python)

« Pour un pas $h$ donné, je parcours $k$ de $0$ à $n-1$, je pose $x=a+kh$ et j'ajoute à la liste le taux de variation entre $x$ et $x+h$. »

def secantes(f, a, h, n):
    L = []
    for k in range(n):
        x = a + k * h
        L.append((f(x + h) - f(x)) / h)
    return L

💡 Initialise la liste avant la boucle, et pense à return L après la boucle (même retrait que for).

Tangentes passant par un point extérieur à la courbe. Le programme demande la tangente en un point donné : cette situation le dépasse, elle n'est pas exigible.

« Soit $a$ l'abscisse du point de contact.

La tangente en $a$ a pour équation $y=2ax-a^2$.

Elle passe par $P\,(1\,;-3)$ si et seulement si $-3=2a-a^2$, soit $a^2-2a-3=0$, donc $a=-1$ ou $a=3$.

Il y a deux tangentes : $y=-2x-1$ et $y=6x-9$. »

a) Un taux de variation.

❌ « On remplace $h$ par $0$ dans $\dfrac{(2+h)^2-4}h$. »

✅ « $\dfrac{(2+h)^2-4}h=\dfrac{4h+h^2}h=4+h$ pour $h\neq0$, qui tend vers $4$ quand $h$ tend vers $0$. »

La première phrase débouche sur $\dfrac00$ et ne démontre rien.

b) Une tangente.

❌ « La tangente en $3$ a pour équation $y=6(x-3)$. »

✅ « $f(3)=9$ et $f'(3)=6$, donc la tangente est $y=6(x-3)+9=6x-9$. »

La première oublie $f(a)$ : elle a la bonne pente, mais ne passe pas par le point de contact.

c) Une dérivée de produit.

❌ « $(uv)'=u'v'$ »

✅ « $(uv)'=u'v+uv'$ »

La première est la faute la plus fréquente de tout le chapitre.

d) Une interprétation.

❌ « $h'(1)=10$. »

✅ « À l'instant $t=1$ s, le ballon monte à $10$ m/s. »

La première donne un nombre sans dire ce qu'il signifie.

• J'ai simplifié par $h$ avant de faire tendre $h$ vers $0$.
• J'ai écrit $u$, $u'$, $v$, $v'$ et cité la formule.
• Pour un inverse ou un quotient, j'ai pensé au signe moins et au carré du dénominateur.
• J'ai écrit la tangente en trois temps : $f(a)$, $f'(a)$, équation.
• Pour une tangente parallèle à une droite, j'ai comparé avec le coefficient directeur et vérifié ma solution.
• Ma conclusion est une phrase, avec l'unité quand il y en a une.

😄 Une tangente sans le $+f(a)$, c'est une adresse sans numéro de rue : on est dans la bonne direction, mais on ne trouve pas la maison.