Première Spé Maths / Chapitre 3 : Dérivation

Fiche 3 : dérivées et tangentes, problèmes

Six exercices pour résoudre les problèmes de tangentes :

tangente et tangentes horizontales d'une fonction polynôme ;
tangente parallèle à une droite donnée ;
position relative d'une courbe et de sa tangente ;
problèmes de vitesse et de coût marginal ;
détermination de coefficients ;
dérivabilité en $0$ de la racine carrée et de la valeur absolue.

Un septième exercice, hors programme, est placé en fin de fiche pour aller plus loin : les tangentes issues d'un point extérieur à la courbe.

Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend d'une bonne copie :

l'abscisse du point de contact est nommée ( $a$ ) quand elle est inconnue ;
la condition de l'énoncé est traduite en équation sur $a$ ;
les solutions sont vérifiées ;
la conclusion donne les équations demandées, avec l'unité pour un problème concret.

💡 Le modèle de rédaction d'une tangente parallèle à une droite

« La droite $d$ a pour coefficient directeur $m_d$ .

La tangente en $a$ est parallèle à $d$ si et seulement si $f'(a)=m_d$ .

On résout cette équation d'inconnue $a$ , puis on écrit l'équation de la tangente en trois temps : $f(a)$ , $f'(a)$ , équation. »

Compare avec le coefficient directeur de $d$ , pas avec son ordonnée à l'origine.
Résous, puis écris toutes les tangentes trouvées : il peut y avoir plusieurs points.
Vérifie ta solution en recalculant la pente.

⚠️ Les pièges classiques

Comparer $f'(a)$ avec l'ordonnée à l'origine de la droite au lieu de son coefficient directeur.
S'arrêter à une solution alors que l'équation $f'(a)=m$ en a plusieurs.
Étudier la position relative sans factoriser la différence : le signe devient illisible.
Oublier d'écrire l'unité dans une phrase de conclusion (m/s, euros).

😄 Oublier l'unité, c'est répondre « 30 » à « combien ça coûte ? » : le correcteur te demandera « 30 quoi ? ».

Exercice 1 (★★) : une cubique et ses tangentes

Soit $f(x)=x^3-3x^2+2$ sur $\R$ et $\mathcal C_f$ sa courbe.

1. Calculer $f'(x)$ et la factoriser.

2. Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal C_f$ au point d'abscisse $1$ .

3. Déterminer les points de $\mathcal C_f$ où la tangente est horizontale, et les équations de ces tangentes.

✏️ Correction de l'exercice 1

Question 1

$f'(x)=3x^2-6x$ .

✅ $f'(x)=3x(x-2)$

Question 2

$f(1)=1-3+2=0$ et $f'(1)=3\times1\times(1-2)=-3$ .

$y=f'(1)(x-1)+f(1)=-3(x-1)+0$

✅ $T$ a pour équation $y=-3x+3$ .

Question 3

La tangente est horizontale si et seulement si $f'(x)=0$ , c'est-à-dire $3x(x-2)=0$ : $x=0$ ou $x=2$ .

$f(0)=2$ et $f(2)=8-12+2=-2$ .

✅ Au point $(0\,;2)$ , la tangente a pour équation $y=2$ ; au point $(2\,;-2)$ , elle a pour équation $y=-2$ .

Exercice 2 (★★) : tangente parallèle à une droite

Soit $f(x)=x^2-4x+5$ et $d$ la droite d'équation $y=2x+1$ .

1. Déterminer l'abscisse du point de $\mathcal C_f$ où la tangente est parallèle à $d$ .

2. Donner l'équation de cette tangente.

✏️ Correction de l'exercice 2

Question 1

Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Celui de $d$ est $2$ .

$f'(x)=2x-4$ , donc $f'(x)=2\iff2x-4=2\iff x=3$ .

✅ La tangente est parallèle à $d$ au point d'abscisse $3$ .

Question 2

$f(3)=9-12+5=2$ et $f'(3)=2$ .

$y=2(x-3)+2$

✅ La tangente a pour équation $y=2x-4$ .

Les deux droites ont la même pente mais pas la même ordonnée à l'origine ( $-4\neq1$ ) : elles sont parallèles et distinctes.

Exercice 3 (★★★) : position d'une courbe par rapport à sa tangente

Dans chaque cas, on étudie la position d'une courbe par rapport à sa tangente.

1. Soit $f(x)=x^2-2x+3$ et $T$ la tangente à $\mathcal C_f$ au point d'abscisse $2$ . Déterminer $T$ , puis étudier la position relative de $\mathcal C_f$ et de $T$ .

2. Soit $g(x)=x^3$ et $T'$ la tangente à $\mathcal C_g$ au point d'abscisse $1$ . Déterminer $T'$ , vérifier que $g(x)-(3x-2)=(x-1)^2(x+2)$ , puis étudier la position relative de $\mathcal C_g$ et de $T'$ .

✏️ Correction de l'exercice 3

Question 1

$f(2)=4-4+3=3$ et $f'(x)=2x-2$ , donc $f'(2)=2$ .

$T$ : $y=2(x-2)+3=2x-1$ .

✅ $T$ : $y=2x-1$

Pour étudier la position, on étudie le signe de $f(x)-(2x-1)$ :

$f(x)-(2x-1)=x^2-2x+3-2x+1=x^2-4x+4=(x-2)^2$

Un carré est positif ou nul, et nul seulement pour $x=2$ .

✅ $\mathcal C_f$ est au-dessus de $T$ , avec un seul point commun : le point d'abscisse $2$ .

Question 2

$g(1)=1$ et $g'(x)=3x^2$ , donc $g'(1)=3$ .

$T'$ : $y=3(x-1)+1=3x-2$ .

✅ $T'$ : $y=3x-2$

Vérification : $(x-1)^2(x+2)=(x^2-2x+1)(x+2)=x^3+2x^2-2x^2-4x+x+2=x^3-3x+2=g(x)-(3x-2)$ ✓.

Le facteur $(x-1)^2$ est positif ou nul : le signe de $g(x)-(3x-2)$ est celui de $x+2$ , sauf en $x=1$ où il s'annule.

$x$		$-2$		$1$
$x+2$	$-$	$0$	$+$		$+$
$(x-1)^2$	$+$		$+$	$0$	$+$
$g(x)-(3x-2)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$

✅ $\mathcal C_g$ est au-dessus de $T'$ sur $[-2\,;+\infty[$ et en dessous sur $]-\infty\,;-2]$ : la tangente $T'$ recoupe la courbe au point d'abscisse $-2$ .

Exercice 4 (★★) : vitesse et coût marginal

Partie A. Un ballon est lancé verticalement.

Sa hauteur, en mètres, à l'instant $t$ (en secondes, avec $0\le t\le4$ ) est $h(t)=-5t^2+20t+1{,}5$ .

La vitesse instantanée à l'instant $t$ est le nombre dérivé $h'(t)$ , en m/s.

1. Calculer $h'(t)$ .

2. Calculer la vitesse du ballon aux instants $t=1$ et $t=3$ , et interpréter les signes.

3. À quel instant la vitesse est-elle nulle ? Quelle est alors la hauteur du ballon ?

Partie B. Le coût de fabrication, en euros, de $q$ objets est $C(q)=0{,}5q^2+10q+200$ .

4. Calculer $C'(20)$ et interpréter le résultat.

5. Calculer $C(21)-C(20)$ et comparer avec $C'(20)$ .

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

$h$ est un polynôme : $h'(t)=-10t+20$ .

✅ $h'(t)=-10t+20$

Question 2

$h'(1)=-10+20=10$ et $h'(3)=-30+20=-10$ .

✅ À $t=1$ s, le ballon monte à $10$ m/s. À $t=3$ s, il descend à $10$ m/s (une vitesse négative signifie que la hauteur diminue).

Question 3

$h'(t)=0\iff-10t+20=0\iff t=2$ .

$h'(t)>0$ pour $t<2$ (le ballon monte) et $h'(t)<0$ pour $t>2$ (il descend).

$h(2)=-5\times4+40+1{,}5=21{,}5$ .

✅ À $t=2$ s, la vitesse est nulle : le ballon est à son point le plus haut, à $21{,}5$ m.

Question 4

$C'(q)=q+10$ , donc $C'(20)=30$ .

✅ Fabriquer le $21^{\text{e}}$ objet coûte environ $30$ €.

Question 5

$C(21)=0{,}5\times441+210+200=630{,}5$ et $C(20)=0{,}5\times400+200+200=600$ .

$C(21)-C(20)=30{,}5$ .

✅ Le coût réel du $21^{\text{e}}$ objet est $30{,}5$ € : $C'(20)=30$ en est une très bonne approximation (écart de $0{,}5$ €).

Exercice 5 (★★★) : déterminer des coefficients

On cherche une fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ dont la courbe passe par $A\,(0\,;1)$ et $B\,(1\,;4)$ et telle que la tangente en $B$ ait pour coefficient directeur $5$ .

1. Traduire les trois conditions par trois équations.

2. Déterminer $a$ , $b$ et $c$ .

3. Donner l'équation de la tangente en $B$ .

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

$A\in\mathcal C_f$ : $f(0)=1$ , donc $c=1$ .

$B\in\mathcal C_f$ : $f(1)=4$ , donc $a+b+c=4$ .

Comme $f'(x)=2ax+b$ , la pente de la tangente en $B$ est $f'(1)=2a+b=5$ .

✅ $c=1$ , $a+b+c=4$ et $2a+b=5$

Question 2

Avec $c=1$ , la deuxième équation devient $a+b=3$ .

On soustrait : $(2a+b)-(a+b)=5-3$ , donc $a=2$ , puis $b=3-2=1$ .

✅ $f(x)=2x^2+x+1$

Vérification : $f(0)=1$ ✓, $f(1)=4$ ✓, $f'(1)=4+1=5$ ✓.

Question 3

$y=f'(1)(x-1)+f(1)=5(x-1)+4$

✅ La tangente en $B$ a pour équation $y=5x-1$ .

Exercice 6 (★★★) : dérivabilité en $0$

1. Pour $h>0$ , calculer le taux de variation de $f(x)=\sqrt x$ entre $0$ et $h$ . Que se passe-t-il quand $h$ tend vers $0$ ? Interpréter graphiquement.

2. Pour $g(x)=|x|$ , calculer le taux de variation entre $0$ et $h$ pour $h>0$ puis pour $h<0$ . La fonction $g$ est-elle dérivable en $0$ ?

✏️ Correction de l'exercice 6

Question 1

$\dfrac{f(h)-f(0)}h=\dfrac{\sqrt h}h=\dfrac1{\sqrt h}$ .

Pour $h=0{,}1$ ; $0{,}01$ ; $0{,}001$ on trouve environ $3{,}2$ ; $10$ ; $31{,}6$ : le taux grandit sans limite.

✅ $f$ n'est pas dérivable en $0$ : la courbe a une tangente verticale à l'origine.

Question 2

Pour $h>0$ : $\dfrac{|h|}h=1$ . Pour $h<0$ : $\dfrac{|h|}h=\dfrac{-h}h=-1$ .

Les deux taux ont des limites différentes ( $1$ à droite, $-1$ à gauche).

✅ $g$ n'est pas dérivable en $0$ : la courbe présente un point anguleux.

Pour aller plus loin, hors programme

L'exercice ci-dessous dépasse les capacités attendues en Première : le programme demande l'équation de la tangente en un point donné. Il n'apparaît ni dans le QCM ni dans la liste de ce qui peut tomber en contrôle.

Exercice 7 (★★★) : tangentes issues d'un point

Le point $P\,(1\,;-3)$ n'appartient pas à la parabole $\mathcal P$ d'équation $y=x^2$ .

1. Soit $a$ un réel. Écrire l'équation de la tangente $T_a$ à $\mathcal P$ au point d'abscisse $a$ .

2. Pour quelles valeurs de $a$ la tangente $T_a$ passe-t-elle par $P$ ?

3. En déduire les équations des tangentes à $\mathcal P$ qui passent par $P$ .

✏️ Correction de l'exercice 7

Question 1

Pour $f(x)=x^2$ : $f(a)=a^2$ et $f'(a)=2a$ .

$T_a$ : $y=2a(x-a)+a^2=2ax-2a^2+a^2$

✅ $T_a$ : $y=2ax-a^2$

Question 2

$T_a$ passe par $P\,(1\,;-3)$ si et seulement si $-3=2a\times1-a^2$ , c'est-à-dire $a^2-2a-3=0$ .

Le discriminant vaut $\Delta=4+12=16$ , donc $a=\dfrac{2-4}2=-1$ ou $a=\dfrac{2+4}2=3$ .

✅ $T_a$ passe par $P$ pour $a=-1$ et pour $a=3$ .

Question 3

Pour $a=3$ : $y=6x-9$ . Pour $a=-1$ : $y=-2x-1$ .

Vérification : $6\times1-9=-3$ ✓ et $-2\times1-1=-3$ ✓.

✅ Il y a deux tangentes à $\mathcal P$ passant par $P$ : $y=6x-9$ et $y=-2x-1$ .

🎯 Ce qui peut tomber en contrôle

Tangentes horizontales et tangente en un point donné (exercice 1).
Tangente parallèle à une droite (exercice 2).
Position relative d'une courbe et de sa tangente (exercice 3).
Un problème concret avec interprétation et unité (exercice 4), ou des coefficients à déterminer (exercice 5).
Une fonction dérivable ou non en $0$ (exercice 6).

QCM : vérifie tes acquis

5 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 5

La tangente à la parabole d'équation $y=x^2$ au point d'abscisse $2$ a pour équation :

Question 2 sur 5

Pour $f(x)=x^3-3x$ , les tangentes horizontales sont aux points d'abscisse :

Question 3 sur 5

La tangente à $\mathcal C_f$ au point d'abscisse $a$ est parallèle à la droite d'équation $y=3x+5$ si :

Question 4 sur 5

Un ballon a pour hauteur $h(t)=-5t^2+20t$ (en mètres, $t$ en secondes). Sa vitesse à $t=1$ est :

Question 5 sur 5

Le coût de fabrication de $q$ objets est $C(q)=q^2+4q$ . Le coût marginal $C'(10)$ vaut :

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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Fiche 3 : dérivées et tangentes, problèmes

Exercice 1 (★★) : une cubique et ses tangentes

Exercice 2 (★★) : tangente parallèle à une droite

Exercice 3 (★★★) : position d'une courbe par rapport à sa tangente

Exercice 4 (★★) : vitesse et coût marginal

Exercice 5 (★★★) : déterminer des coefficients

Exercice 6 (★★★) : dérivabilité en 000

Exercice 7 (★★★) : tangentes issues d'un point

QCM : vérifie tes acquis

Exercice 6 (★★★) : dérivabilité en $0$