Fiche 1 : nombre dérivé et tangente

Question 1

$f(2)=4-6=-2$ et $f(2+h)=(2+h)^2-3(2+h)=4+4h+h^2-6-3h=h^2+h-2$.

Pour $h\neq0$ :

$\dfrac{f(2+h)-f(2)}h=\dfrac{h^2+h-2+2}h=\dfrac{h^2+h}h=\dfrac{h(h+1)}h$

✅ $\dfrac{f(2+h)-f(2)}h=1+h$

Question 2

Quand $h$ tend vers $0$, $1+h$ tend vers $1$.

✅ $f$ est dérivable en $2$ et $f'(2)=1$.

Question 3

Pour $h=0{,}1$ : $1+h=1{,}1$. Pour $h=0{,}01$ : $1+h=1{,}01$.

✅ Le taux de variation se rapproche de $1=f'(2)$ quand $h$ diminue.

Question 1

Le point $A\,(1\,;3)$ appartient à $\mathcal C_f$ : son ordonnée est $f(1)$.

✅ $f(1)=3$

Question 2

$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente en $A$, c'est-à-dire de la droite $(AB)$ :

$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{7-3}{3-1}=\dfrac42$

✅ $f'(1)=2$

Question 3

$y=f'(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+3=2x+1$.

Vérification : pour $B\,(3\,;7)$, $2\times3+1=7$ ✓.

✅ La tangente en $A$ a pour équation $y=2x+1$.

Question 4

Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul.

✅ $f'(-2)=0$

Question 1

$f(3)=9-12+1=-2$. Comme $f'(x)=2x-4$, $f'(3)=2$.

$y=f'(3)(x-3)+f(3)=2(x-3)-2$

✅ $y=2x-8$

Question 2

$g(-1)=-1$. Comme $g'(x)=3x^2$, $g'(-1)=3$.

$y=g'(-1)\big(x-(-1)\big)+g(-1)=3(x+1)-1$

✅ $y=3x+2$

Question 3

$h(1)=2-1=1$. Comme $h'(x)=6x^2-2x$, $h'(1)=4$.

$y=h'(1)(x-1)+h(1)=4(x-1)+1$

✅ $y=4x-3$

Question 1

$f(2)=\dfrac12$. Comme $f'(x)=-\dfrac1{x^2}$, $f'(2)=-\dfrac14$.

$y=-\dfrac14(x-2)+\dfrac12=-\dfrac x4+\dfrac12+\dfrac12$

✅ $y=-\dfrac x4+1$

Pour $x=4$ : $y=-1+1=0$ ✓.

✅ La tangente passe bien par le point $(4\,;0)$.

Question 2

$g(9)=3$. Comme $g'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$, $g'(9)=\dfrac1{2\times3}=\dfrac16$.

$y=\dfrac16(x-9)+3=\dfrac x6-\dfrac32+3$

✅ $y=\dfrac x6+\dfrac32$

Question 1

$f(25)=5$ et $f'(25)=\dfrac1{2\sqrt{25}}=\dfrac1{10}$. On utilise $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)\,h$.

$\sqrt{25{,}3}\approx5+\dfrac1{10}\times0{,}3=5{,}03$

$\sqrt{24{,}5}\approx5+\dfrac1{10}\times(-0{,}5)=4{,}95$

✅ $\sqrt{25{,}3}\approx5{,}03$ et $\sqrt{24{,}5}\approx4{,}95$

Question 2

$f(1)=1$ et $f'(1)=-1$.

$\dfrac1{1{,}02}\approx1+(-1)\times0{,}02=0{,}98$

$\dfrac1{0{,}97}\approx1+(-1)\times(-0{,}03)=1{,}03$

✅ $\dfrac1{1{,}02}\approx0{,}98$ et $\dfrac1{0{,}97}\approx1{,}03$

Question 3

La calculatrice donne : $\sqrt{25{,}3}\approx5{,}02991$, $\sqrt{24{,}5}\approx4{,}94975$, $\dfrac1{1{,}02}\approx0{,}98039$, $\dfrac1{0{,}97}\approx1{,}03093$.

Les écarts sont d'environ $0{,}00009$, $0{,}00025$, $0{,}00039$ et $0{,}00093$.

✅ La meilleure approximation est celle de $\sqrt{25{,}3}$ (écart d'environ $0{,}00009$).

Une approximation linéaire est d'autant meilleure que $h$ est petit ; elle dépend aussi de la fonction : près de $25$, la racine carrée est très peu courbée, donc très proche de sa tangente.

Question 1

La tangente $T$ passe par $A\,(4\,;4)$ et coupe l'axe des abscisses au point $B\,(2\,;0)$ : ce sont deux points repérables sur le quadrillage. Son coefficient directeur est

✅ $f'(4)=2$.

Question 2

$f(4)=4$ (ordonnée de $A$) et $f'(4)=2$, donc $y=2(x-4)+4$.

✅ $T\,:\,y=2x-4$.

Vérification : pour $B\,(2\,;0)$, $2\times2-4=0$ ✓.

Question 3

On part de $D\,(-2\,;1)$, on avance de $1$ vers la droite et on descend de $1$ (car $f'(-2)=-1$) : on obtient le point $(-1\,;0)$. On trace la droite qui passe par ces deux points.

$f(-2)=1$ et $f'(-2)=-1$, donc $y=-(x+2)+1$.

✅ $T'\,:\,y=-x-1$.

Question 4

À l'origine, la courbe a un point le plus bas : la tangente y est horizontale.

✅ $f'(0)=0$ et la tangente à l'origine est la droite d'équation $y=0$.

(La courbe est celle de $x\mapsto\dfrac{x^2}4$ : on vérifie que $f'(x)=\dfrac x2$ donne $f'(4)=2$, $f'(-2)=-1$ et $f'(0)=0$.)

Question 1

Pour $h>0$ :

✅ Quand $h$ tend vers $0$, ce taux tend vers $-1$ : $f'(1)=-1$.

Question 2

Pour $h>0$ :

✅ Quand $h$ tend vers $0$, ce taux tend vers $-\dfrac1{a^2}$ : $f'(a)=-\dfrac1{a^2}$.

Question 3

$h$	$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}001$
carré : $(1+h)^2-1$	$0{,}21$	$0{,}0201$	$0{,}002001$
inverse : $\dfrac1{1+h}-1$	$-0{,}090909$	$-0{,}009901$	$-0{,}000999$
racine : $\sqrt{1+h}-1$	$0{,}048809$	$0{,}004988$	$0{,}000500$

Question 4

On a $f'(1)=2$ pour le carré, $-1$ pour l'inverse et $\dfrac12$ pour la racine carrée (car $f'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$).

$h$	$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}001$
$2h$	$0{,}2$	$0{,}02$	$0{,}002$
$-h$	$-0{,}1$	$-0{,}01$	$-0{,}001$
$\dfrac h2$	$0{,}05$	$0{,}005$	$0{,}0005$

✅ Pour $h$ proche de $0$, $f(1+h)-f(1)\approx f'(1)\,h$, et l'approximation est d'autant meilleure que $h$ est petit.

Question 5

La fonction affine tangente en $1$ est $x\mapsto f(1)+f'(1)(x-1)$ avec $f(1)=1$ dans les trois cas.

• carré : $1+2(x-1)=2x-1$ ;
• inverse : $1-(x-1)=2-x$ ;
• racine carrée : $1+\dfrac12(x-1)=\dfrac{x+1}2$.

✅ Les trois fonctions affines tangentes en $1$ sont $x\mapsto2x-1$, $x\mapsto2-x$ et $x\mapsto\dfrac{x+1}2$.

Question 1

On part d'une liste vide. Pour chaque $k$, on calcule $x_k$ puis le taux de variation entre $x_k$ et $x_k+h$, et on l'ajoute à la liste.

def secantes(f, a, h, n):
    L = []
    for k in range(n):
        x = a + k * h
        L.append((f(x + h) - f(x)) / h)
    return L

Question 2

Les abscisses sont $x_k=1\,;\,1{,}5\,;\,2\,;\,2{,}5$ et $f(x)=x^2$ :

• $k=0$ : $\dfrac{1{,}5^2-1^2}{0{,}5}=\dfrac{1{,}25}{0{,}5}=2{,}5$ ;
• $k=1$ : $\dfrac{2^2-1{,}5^2}{0{,}5}=\dfrac{1{,}75}{0{,}5}=3{,}5$ ;
• $k=2$ : $\dfrac{2{,}5^2-2^2}{0{,}5}=\dfrac{2{,}25}{0{,}5}=4{,}5$ ;
• $k=3$ : $\dfrac{3^2-2{,}5^2}{0{,}5}=\dfrac{2{,}75}{0{,}5}=5{,}5$.

✅ La liste est [2.5, 3.5, 4.5, 5.5].

Question 3

Pour $h\neq0$ :

✅ Les éléments de la liste valent $2x_k+h$ : ils approchent $f'(x_k)=2x_k$, avec une erreur égale au pas $h$. Plus le pas est petit, meilleure est l'approximation.

Question 4

On applique taux à chaque abscisse $x_k=a+kh$ :

[taux(f, a + k * h, h) for k in range(n)]

✅ Cette ligne donne la même liste que la fonction secantes.

Affirmation 1

Le coefficient directeur de la tangente est $f'(a)=0$ : la droite est horizontale, d'équation $y=f(a)$.

✅ Vrai.

Affirmation 2

Pour $f(x)=x^2$ : $f(1)=1$ et $f'(1)=2$, donc la tangente est $y=2(x-1)+1=2x-1$.

Pour $x=0$, on trouve $y=-1\neq0$ : elle ne passe pas par l'origine.

❌ Faux.

Affirmation 3

Pour $h>0$, le taux de variation entre $0$ et $h$ vaut $\dfrac{\sqrt h}h=\dfrac1{\sqrt h}$, qui n'a pas de limite finie quand $h$ tend vers $0$.

❌ Faux.

Affirmation 4

Le nombre dérivé est la limite du taux de variation, pas sa valeur. Par exemple, pour $f(x)=x^2$ en $a=3$, le taux vaut $6+h\neq6$ pour tout $h\neq0$.

❌ Faux.