Dérivation : exercices de synthèse

$f$ est un polynôme, dérivable sur $\R$, et $f'(x)=3x^2-8x+4$.

Développons : $(3x-2)(x-2)=3x^2-6x-2x+4=3x^2-8x+4$ ✓.

✅ $f'(x)=(3x-2)(x-2)$

La tangente est horizontale si et seulement si $f'(x)=0$, c'est-à-dire $x=\dfrac23$ ou $x=2$.

$f(2)=8-16+8=0$ et $f\left(\dfrac23\right)=\dfrac8{27}-\dfrac{16}9+\dfrac83=\dfrac{8-48+72}{27}=\dfrac{32}{27}$.

✅ Au point $\left(\dfrac23\,;\dfrac{32}{27}\right)$, la tangente a pour équation $y=\dfrac{32}{27}$ ; au point $(2\,;0)$, elle a pour équation $y=0$.

$f(1)=1-4+4=1$ et $f'(1)=(3-2)(1-2)=-1$.

$y=f'(1)(x-1)+f(1)=-(x-1)+1$

✅ $T$ a pour équation $y=-x+2$.

$f(x)-(-x+2)=x^3-4x^2+4x+x-2=x^3-4x^2+5x-2$.

$(x-1)^2(x-2)=(x^2-2x+1)(x-2)=x^3-2x^2-2x^2+4x+x-2=x^3-4x^2+5x-2$ ✓.

Le facteur $(x-1)^2$ est positif ou nul ; le signe est donc celui de $x-2$, sauf en $x=1$ où la différence s'annule.

$x$	$-\infty$		$1$		$2$		$+\infty$
$(x-1)^2$		$+$	$0$	$+$		$+$
$x-2$		$-$		$-$	$0$	$+$
$f(x)-(-x+2)$		$-$	$0$	$-$	$0$	$+$

✅ $\mathcal C_f$ est en dessous de $T$ sur $]-\infty\,;2]$ (avec un contact en $x=1$) et au-dessus de $T$ sur $[2\,;+\infty[$.

Autrement dit, $T$ touche la courbe en $x=1$ sans la traverser, puis la recoupe en $x=2$.

• Q1 : dérivée développée pour vérifier la forme factorisée.

• Q2 : équation $f'(x)=0$ résolue, deux points avec leurs ordonnées et leurs tangentes.

• Q3 : tangente en trois temps ($f(1)$, $f'(1)$, équation).

• Q4 : différence développée et factorisée, signe justifié par le tableau, conclusion sur la position avec les intervalles.

$f=\dfrac uv$ avec $u(x)=2x-1$, $u'(x)=2$, $v(x)=x+1$, $v'(x)=1$, et $v$ ne s'annule pas sur $I$.

$f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{2(x+1)-(2x-1)\times1}{(x+1)^2}=\dfrac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2}$

✅ $f'(x)=\dfrac3{(x+1)^2}$

Pour tout $x\in I$, $(x+1)^2>0$, donc $f'(x)>0$.

✅ $f'(x)>0$ sur $I$.

$f(0)=-1$ et $f'(0)=3$.

$y=3(x-0)+(-1)$

✅ $T$ a pour équation $y=3x-1$.

$f(x)-(3x-1)=\dfrac{2x-1}{x+1}-(3x-1)=\dfrac{2x-1-(3x-1)(x+1)}{x+1}$

$(3x-1)(x+1)=3x^2+2x-1$, donc le numérateur vaut $2x-1-3x^2-2x+1=-3x^2$.

✅ $f(x)-(3x-1)=\dfrac{-3x^2}{x+1}$

Sur $I$, $x+1>0$ et $-3x^2\le0$, avec égalité seulement en $x=0$.

✅ $\mathcal C_f$ est en dessous de $T$ sur $I$, avec un seul point commun : le point d'abscisse $0$.

On cherche $x\in I$ tel que $f'(x)=\dfrac34$ : $\dfrac3{(x+1)^2}=\dfrac34\iff(x+1)^2=4\iff x+1=2$ ou $x+1=-2$.

Comme $x>-1$, on a $x+1>0$ : seule la solution $x+1=2$, soit $x=1$, convient.

$f(1)=\dfrac12$ et $f'(1)=\dfrac34$, donc $y=\dfrac34(x-1)+\dfrac12=\dfrac34x-\dfrac14$.

✅ Oui : au point d'abscisse $1$, la tangente est parallèle à la droite $y=\dfrac34x$ ; son équation est $y=\dfrac34x-\dfrac14$.

• Q1 : $u$, $u'$, $v$, $v'$ écrits, formule du quotient citée, signe justifié par le carré.

• Q2 : tangente en trois temps.

• Q3 : mise au même dénominateur, numérateur développé, signe justifié sur $I$ (où $x+1>0$).

• Q4 : équation $f'(x)=\dfrac34$ résolue, solution rejetée car hors de $I$, équation de la tangente.

$f'(x)=3x^2$, donc $f'(2)=12$. De plus $f(2)=8$.

$y=12(x-2)+8$

✅ $f'(2)=12$ et la tangente a pour équation $y=12x-16$.

$\tau(h)=\dfrac{(2+h)^3-8}h=\dfrac{8+12h+6h^2+h^3-8}h=\dfrac{12h+6h^2+h^3}h$

✅ $\tau(h)=12+6h+h^2$

Donc $\tau(h)-12=6h+h^2$, qui tend vers $0$ quand $h$ tend vers $0$ : on retrouve $f'(2)=12$.

def tau(h):
    return ((2 + h) ** 3 - 2 ** 3) / h

k = 0
while abs(tau(10 ** (-k)) - 12) >= 0.001:
    k = k + 1
print(k)

Le script affiche 4.

Vérification : pour $k=3$, $\tau-12=6h+h^2\approx6{,}001\times10^{-3}\ge10^{-3}$ ; pour $k=4$, $\tau-12\approx6\times10^{-4}<10^{-3}$.

✅ Il faut prendre $h=10^{-4}$ pour que le taux de variation approche $f'(2)=12$ à moins de $10^{-3}$ près.

• Q1 : dérivée, valeur de $f(2)$, tangente en trois temps.

• Q2 : numérateur développé, simplification par $h$ avant la limite, différence $6h+h^2$.

• Q3 : condition de la boucle correcte (while tant que l'écart est trop grand), valeur vérifiée avec deux valeurs de $k$, interprétation.