Suites numériques : exercices de synthèse

Chaque année, le capital du plan A augmente de $50$ € : $A_{n+1}=A_n+50$.

✅ $(A_n)$ est arithmétique de raison $50$ et de premier terme $1\,000$ : $A_n=1\,000+50n$.

Une hausse de $4\,\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1{,}04$ : $B_{n+1}=1{,}04\,B_n$.

✅ $(B_n)$ est géométrique de raison $1{,}04$ et de premier terme $1\,000$ : $B_n=1\,000\times1{,}04^n$.

$A_{10}=1\,000+500=1\,500$ €.

$B_{10}=1\,000\times1{,}04^{10}\approx1\,480{,}24$ €.

✅ Au bout de $10$ ans, le plan A est le plus avantageux ($1\,500$ € contre $1\,480{,}24$ €).

n = 0
while 1000 * 1.04**n <= 1000 + 50*n:
    n = n + 1
print(n)

Le script affiche 12.

Vérification : $B_{11}\approx1\,539{,}45<A_{11}=1\,550$ et $B_{12}\approx1\,601{,}03>A_{12}=1\,600$.

✅ Le plan B dépasse le plan A à partir de la $12^{\text{e}}$ année.

Et au-delà ? Pour $n\geqslant12$, on compare les accroissements : $A_{n+1}-A_n=50$ et $B_{n+1}-B_n=0{,}04\,B_n$. Comme $(B_n)$ est croissante, $B_n\geqslant B_{12}>1\,600$, donc $0{,}04\,B_n>64>50$.

L'écart $B_n-A_n$ augmente donc à chaque année à partir de $n=12$, et il est déjà positif en $n=12$ : le plan B reste plus avantageux pour tout $n\geqslant12$.

• Q1 : relation $A_{n+1}=A_n+50$ et $B_{n+1}=1{,}04\,B_n$ écrites, nature nommée, termes généraux.

• Q2 : deux calculs, comparaison conclue en contexte.

• Q3 : condition de la boucle correcte, valeur vérifiée par deux termes, interprétation.

Une hausse de $20\,\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1{,}2$ : $b_{n+1}=1{,}2\,b_n$.

✅ $(b_n)$ est géométrique de raison $1{,}2$ et de premier terme $2\,000$ : $b_n=2\,000\times1{,}2^n$.

$b_5=2\,000\times1{,}2^5=2\,000\times2{,}48832$

✅ $b_5\approx4\,977$ bactéries

Le premier terme est positif et la raison $1{,}2>1$.

✅ La suite $(b_n)$ est strictement croissante.

n = 0
b = 2000
while b <= 10000:
    b = b * 1.2
    n = n + 1
print(n)

Le script affiche 9.

Vérification : $b_8=2\,000\times1{,}2^8\approx8\,600<10\,000$ et $b_9\approx10\,320>10\,000$.

✅ La culture dépasse $10\,000$ bactéries au bout de $9$ heures.

• Q1 : coefficient multiplicateur expliqué, nature justifiée, terme général.

• Q2 : calcul et valeur approchée arrondie.

• Q3 : raison supérieure à $1$ et premier terme positif cités.

• Q4 : algorithme correct, résultat vérifié avec deux termes, conclusion en heures.

Chaque rangée compte $2$ briques de moins que la précédente : $u_{k+1}=u_k-2$.

✅ $(u_k)$ est arithmétique de raison $-2$ et de premier terme $u_1=30$.

$u_k=u_1+(k-1)r=30-2(k-1)$

✅ $u_k=32-2k$

Une rangée existe si $u_k>0$ : $32-2k>0\iff k<16$. Donc $k\le15$. Pour $k=15$ : $u_{15}=2$, et pour $k=16$ : $u_{16}=0$.

✅ On peut construire $15$ rangées.

Les $5$ premières rangées : $u_1,\dots,u_5$ avec $u_5=32-10=22$.

$S_5=5\times\dfrac{u_1+u_5}2=5\times\dfrac{30+22}2=5\times26$

✅ $S_5=130$ briques

Il y a $15$ rangées, de $u_1=30$ à $u_{15}=2$ briques.

$S=15\times\dfrac{30+2}2=15\times16$

✅ Il faut $240$ briques en tout.

• Q1 : relation $u_{k+1}=u_k-2$ écrite, premier terme au rang $1$, donc $u_k=u_1+(k-1)r$.

• Q2 : condition $u_k>0$ résolue, dernier rang entier donné.

• Q3 et Q4 : formule de la somme citée, nombre de termes juste, valeurs des termes extrêmes.

Les figures comptent $a_1=4$, $a_2=7$ et $a_3=10$ allumettes. Pour passer de la figure $n$ à la figure $n+1$, on ajoute un carré : $3$ allumettes de plus (une en haut, une en bas, une à droite).

$a_{n+1}=a_n+3$ pour tout $n\geqslant1$ : la différence est constante.

✅ $(a_n)$ est arithmétique de raison $3$ et de premier terme $a_1=4$.

Le premier terme est au rang $1$ : $a_n=a_1+(n-1)r=4+3(n-1)$.

✅ $a_n=3n+1$.

Pour $25$ carrés : $a_{25}=3\times25+1=76$ allumettes.

Avec $301$ allumettes : $3n+1=301\iff n=100$.

✅ Il faut $76$ allumettes pour $25$ carrés, et $301$ allumettes permettent d'aligner $100$ carrés.

On compte $e_1=1$, $e_2=1+2=3$, $e_3=3+3=6$ et $e_4=6+4=10$. De la figure $n$ à la figure $n+1$, on ajoute une marche de hauteur $n+1$ :

✅ $e_{n+1}=e_n+(n+1)$ avec $e_1=1$.

Les écarts valent $2$, $3$, $4$ : ils ne sont pas constants, donc la suite n'est pas arithmétique (et les quotients $3$, $2$, $\frac53$ ne sont pas constants non plus).

$e_n$ est la somme des hauteurs des marches : $e_n=1+2+\dots+n$. D'après la formule démontrée dans le cours (somme écrite à l'endroit puis à l'envers) :

✅ $e_n=\dfrac{n(n+1)}2$.

n = 1
e = 1
while e <= 500:
    n = n + 1
    e = e + n
print(n)

Le script affiche 32.

Vérification : $e_{31}=\dfrac{31\times32}2=496\leqslant500$ et $e_{32}=\dfrac{32\times33}2=528>500$.

✅ Il faut $32$ marches pour dépasser $500$ carreaux.

• Q1 : comptage des premières figures, relation $a_{n+1}=a_n+3$ écrite et nature nommée.

• Q2 : premier terme au rang $1$ donc $a_n=a_1+(n-1)r$, équation $3n+1=301$ résolue, conclusion en contexte.

• Q3 : ce qui s'ajoute d'une figure à la suivante, écarts non constants donc pas arithmétique.

• Q4 : formule de $1+2+\dots+n$ citée, script avec while, seuil vérifié par deux termes.