Chapitre 10 : Variables aléatoires

Questions fréquentes sur Variables aléatoires

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire en Première ?

C'est une fonction définie sur l'univers d'une expérience aléatoire (fini) et à valeurs réelles : elle associe un nombre à chaque issue (un gain, un nombre de piles, une somme). On note {X = a} l'événement « X prend la valeur a » et P(X = a) sa probabilité.

Comment déterminer la loi d'une variable aléatoire ?

On liste les valeurs possibles de X, on calcule P(X = x_i) pour chacune (en comptant les issues, avec un tableau ou avec un arbre pondéré), puis on présente le tout dans un tableau. On vérifie toujours que la somme des probabilités vaut 1.

Comment calculer l'espérance, la variance et l'écart type ?

E(X) = Σ x_i p_i. La variance est V(X) = Σ p_i (x_i − E(X))², ou, avec la formule de König-Huygens, V(X) = E(X²) − (E(X))² où E(X²) = Σ x_i² p_i. L'écart type est σ(X) = √V(X).

Que signifie un jeu équitable et comment trouver la mise ?

Un jeu est équitable quand l'espérance du gain algébrique est nulle. Si R est la somme reçue et m la mise, le gain est G = R − m, donc E(G) = E(R) − m et le jeu est équitable pour m = E(R).

Quelle est la linéarité de l'espérance ?

Pour tous réels a et b, E(aX + b) = a E(X) + b. La démonstration se fait avec la définition de l'espérance : Σ (a x_i + b) p_i = a Σ x_i p_i + b Σ p_i, et Σ p_i = 1.

Comment simuler une variable aléatoire avec Python ?

On écrit une fonction qui simule une valeur de X (avec random.randint par exemple), puis une fonction qui renvoie la moyenne d'un échantillon de taille n. La moyenne observée varie d'une exécution à l'autre mais est en général proche de l'espérance, avec un écart typique de l'ordre de σ/√n.