Première Spé Maths / Chapitre 10 : Variables aléatoires

Fiche 2 : espérance, variance et écart type

Sept exercices pour maîtriser l'espérance, la variance et l'écart type :

$E$ , $V$ et $\sigma$ par la définition puis par König-Huygens ;
une loi avec paramètres ;
la linéarité de l'espérance (démonstration et applications) ;
la démonstration de König-Huygens ;
comparer deux lois de même espérance ;
le lien statistiques et probabilités ;
vrai/faux.

Toutes les corrections sont rédigées comme on l'attend d'une bonne copie :

la variable aléatoire est définie avant tout calcul ;
la formule (espérance, König-Huygens) est citée, puis les valeurs sont substituées ;
chaque résultat est interprété avec l'unité du contexte.

💡 Le modèle de rédaction pour une espérance et une variance

« $E(X)=\sum x_ip_i=0\times0{,}5+1\times0{,}3+4\times0{,}2=1{,}1$ . D'après la formule de König-Huygens, $V(X)=E(X^2)-E(X)^2=3{,}5-1{,}21=2{,}29$ , donc $\sigma(X)=\sqrt{2{,}29}\approx1{,}51$ . »

Cite la formule.
Écris chaque terme du calcul.
Termine par $\sigma(X)$ si on le demande.

⚠️ Les pièges classiques

Oublier de mettre au carré dans $E(X^2)$ .
Écrire $V(X)=E(X^2)-E(X)$ sans carré.
Donner la variance à la place de l'écart type.
Oublier le signe d'une perte.

😄 La variance d'un élève qui révise la veille : très grande. L'espérance de sa note : on en reparle.

Exercice 1 (★) : espérance, variance, écart type

On reprend la variable $X$ de l'exercice 3 de la fiche 1 : $P(X=0)=0{,}5$ , $P(X=1)=0{,}3$ et $P(X=4)=0{,}2$ .

1. Calculer $E(X)$ .

2. Calculer $E(X^2)$ puis $V(X)$ avec la formule de König-Huygens.

3. En déduire $\sigma(X)$ (valeur approchée au centième).

4. Retrouver $V(X)$ avec la définition.

✏️ Correction de l'exercice 1

Question 1

$E(X)=0\times0{,}5+1\times0{,}3+4\times0{,}2=0{,}3+0{,}8=1{,}1$ .

✅ $E(X)=1{,}1$ .

Question 2

$E(X^2)=0^2\times0{,}5+1^2\times0{,}3+4^2\times0{,}2=0{,}3+3{,}2=3{,}5$ .

$V(X)=E(X^2)-E(X)^2=3{,}5-1{,}1^2=3{,}5-1{,}21=2{,}29$ .

✅ $V(X)=2{,}29$ .

Question 3

✅ $\sigma(X)=\sqrt{2{,}29}\approx1{,}51$ .

Question 4

$V(X)=0{,}5\,(0-1{,}1)^2+0{,}3\,(1-1{,}1)^2+0{,}2\,(4-1{,}1)^2=0{,}605+0{,}003+1{,}682=2{,}29$ .

✅ Les deux méthodes donnent $V(X)=2{,}29$ .

Exercice 2 (★★) : loi avec paramètres

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$ , $1$ , $2$ et $3$ avec $P(X=0)=0{,}2$ , $P(X=1)=a$ , $P(X=2)=b$ et $P(X=3)=0{,}2$ . On sait que $E(X)=1{,}5$ .

1. Écrire deux équations vérifiées par $a$ et $b$ .

2. En déduire $a$ et $b$ .

3. Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ (valeur approchée au centième).

✏️ Correction de l'exercice 2

Question 1

La somme des probabilités vaut $1$ : $0{,}2+a+b+0{,}2=1$ , soit $a+b=0{,}6$ .

L'espérance vaut $1{,}5$ : $0\times0{,}2+a+2b+3\times0{,}2=1{,}5$ , soit $a+2b=0{,}9$ .

Question 2

On soustrait : $(a+2b)-(a+b)=0{,}9-0{,}6$ , donc $b=0{,}3$ puis $a=0{,}3$ .

✅ $a=0{,}3$ et $b=0{,}3$ .

Vérification : $0{,}2+0{,}3+0{,}3+0{,}2=1$ .

Question 3

$E(X^2)=0{,}3+4\times0{,}3+9\times0{,}2=0{,}3+1{,}2+1{,}8=3{,}3$ .

$V(X)=3{,}3-1{,}5^2=3{,}3-2{,}25=1{,}05$ .

✅ $V(X)=1{,}05$ et $\sigma(X)=\sqrt{1{,}05}\approx1{,}02$ .

Exercice 3 (★★) : linéarité de l’espérance

1. Soit $X$ une variable aléatoire de valeurs $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ et de probabilités $p_1$ , $p_2$ , $p_3$ . Soient $a\neq0$ et $b$ deux réels. La variable $aX+b$ prend les valeurs $ax_i+b$ avec les probabilités $p_i$ . Démontrer que $E(aX+b)=aE(X)+b$ .

2. On lance un dé équilibré. On reçoit en euros le double du résultat $D$ , et la partie coûte $5$ €. Soit $G=2D-5$ le gain algébrique. Calculer $E(D)$ puis $E(G)$ .

3. Pour quelle mise le jeu est-il équitable ?

4. Un temps d'attente $X$ , en minutes, vaut $0$ , $5$ ou $10$ avec les probabilités $0{,}2$ , $0{,}5$ et $0{,}3$ . Calculer $E(X)$ puis l'espérance $E(Y)$ de ce temps exprimé en secondes ( $Y=60X$ ).

✏️ Correction de l'exercice 3

Question 1

Par définition de l'espérance appliquée à $aX+b$ :

E(aX+b)=\sum_{i=1}^{3}(ax_i+b)p_i=a\sum_{i=1}^{3}x_ip_i+b\sum_{i=1}^{3}p_i

Or $\sum x_ip_i=E(X)$ et $\sum p_i=1$ .

✅ Donc $E(aX+b)=aE(X)+b$ .

Question 2

$E(D)=\dfrac{1+2+3+4+5+6}6=3{,}5$ .

Par linéarité de l'espérance, $E(G)=2E(D)-5=2\times3{,}5-5=2$ .

✅ $E(G)=2$ : le jeu est favorable au joueur, qui gagne $2$ € en moyenne par partie.

Question 3

Avec une mise $m$ , $E(2D-m)=7-m$ . Le jeu est équitable lorsque $7-m=0$ .

✅ La mise équitable est $m=7$ €.

Question 4

$E(X)=0\times0{,}2+5\times0{,}5+10\times0{,}3=2{,}5+3=5{,}5$ .

$E(Y)=E(60X)=60\,E(X)=60\times5{,}5=330$ .

✅ En moyenne, l'attente est de $5{,}5$ minutes, soit $330$ secondes.

Exercice 4 (★★★) : démonstration de König-Huygens

Soit $X$ une variable aléatoire de valeurs $x_1,\dots,x_n$ , de probabilités $p_1,\dots,p_n$ et d'espérance $\mu$ . On veut démontrer que $V(X)=E(X^2)-\mu^2$ .

1. Développer $(x_i-\mu)^2$ .

2. En déduire $V(X)=\sum p_ix_i^2-2\mu\sum p_ix_i+\mu^2\sum p_i$ .

3. Conclure.

4. Application : $X$ vaut $1$ , $3$ ou $5$ avec les probabilités $0{,}25$ , $0{,}5$ et $0{,}25$ . Calculer $V(X)$ avec la formule, puis avec la définition.

✏️ Correction de l'exercice 4

Question 1

$(x_i-\mu)^2=x_i^2-2\mu x_i+\mu^2$ .

Question 2

Par définition $V(X)=\sum_{i}p_i(x_i-\mu)^2=\sum_i p_i(x_i^2-2\mu x_i+\mu^2)$ . On distribue $p_i$ puis on sépare la somme en trois :

V(X)=\sum p_ix_i^2-2\mu\sum p_ix_i+\mu^2\sum p_i.

Question 3

On a $\sum p_ix_i^2=E(X^2)$ , $\sum p_ix_i=\mu$ et $\sum p_i=1$ .

Donc $V(X)=E(X^2)-2\mu\times\mu+\mu^2\times1=E(X^2)-\mu^2$ .

✅ $V(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2$ .

Question 4

$\mu=0{,}25+1{,}5+1{,}25=3$ et $E(X^2)=0{,}25+4{,}5+6{,}25=11$ .

Avec la formule : $V(X)=11-3^2=2$ .

Avec la définition : $0{,}25\,(1-3)^2+0{,}5\,(3-3)^2+0{,}25\,(5-3)^2=1+0+1=2$ .

✅ Les deux méthodes donnent $V(X)=2$ .

Exercice 5 (★★) : comparer deux jeux

Deux jeux proposent un gain en euros. Dans le jeu $A$ , le gain $X_A$ vaut $0$ ou $20$ avec la probabilité $\dfrac12$ chacun. Dans le jeu $B$ , le gain $X_B$ vaut $5$ , $10$ ou $15$ avec les probabilités $0{,}25$ , $0{,}5$ et $0{,}25$ .

1. Calculer $E(X_A)$ et $E(X_B)$ .

2. Calculer $V(X_A)$ , $V(X_B)$ puis les écarts types.

3. Quel jeu choisir pour limiter le risque ? Rédiger une phrase d'interprétation.

✏️ Correction de l'exercice 5

Question 1

$E(X_A)=0\times\dfrac12+20\times\dfrac12=10$ . $E(X_B)=5\times0{,}25+10\times0{,}5+15\times0{,}25=1{,}25+5+3{,}75=10$ .

✅ Les deux jeux ont la même espérance : $10$ €.

Question 2

$V(X_A)=\dfrac12(0-10)^2+\dfrac12(20-10)^2=100$ donc $\sigma(X_A)=10$ €.

$V(X_B)=0{,}25\,(5-10)^2+0{,}5\,(10-10)^2+0{,}25\,(15-10)^2=6{,}25+0+6{,}25=12{,}5$ donc $\sigma(X_B)=\sqrt{12{,}5}\approx3{,}54$ €.

Question 3

✅ Les gains moyens sont égaux mais $\sigma(X_B)<\sigma(X_A)$ : les gains du jeu $B$ sont moins dispersés autour de $10$ €. Pour limiter le risque, on choisit le jeu $B$ .

Exercice 6 (★★) : statistiques et probabilités

Les notes d'une classe de $20$ élèves sont données par le tableau.

Note $8$ $10$ $12$ $14$ $16$

Effectif $2$ $4$ $6$ $5$ $3$

On tire au hasard un élève de la classe (équiprobabilité) et on note $X$ sa note.

1. Donner la loi de $X$ .

2. Calculer $E(X)$ et comparer avec la moyenne de la série.

3. Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ . Retrouver l'écart type de la série par sa définition $\sqrt{\dfrac1{20}\sum n_i(x_i-m)^2}$ .

4. Calculer la probabilité que la note soit au moins égale à $12$ .

Note	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$
Effectif	$2$	$4$	$6$	$5$	$3$

✏️ Correction de l'exercice 6

Question 1

Il y a $20$ élèves équiprobables.

$x_i$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$
$P(X=x_i)$	$0{,}10$	$0{,}20$	$0{,}30$	$0{,}25$	$0{,}15$

Vérification : $0{,}10+0{,}20+0{,}30+0{,}25+0{,}15=1$ .

Question 2

$E(X)=8\times0{,}1+10\times0{,}2+12\times0{,}3+14\times0{,}25+16\times0{,}15=0{,}8+2+3{,}6+3{,}5+2{,}4=12{,}3$ .

La moyenne de la série est $\dfrac{2\times8+4\times10+6\times12+5\times14+3\times16}{20}=\dfrac{246}{20}=12{,}3$ .

✅ $E(X)$ est égale à la moyenne de la série : $12{,}3$ .

Question 3

$E(X^2)=64\times0{,}1+100\times0{,}2+144\times0{,}3+196\times0{,}25+256\times0{,}15=6{,}4+20+43{,}2+49+38{,}4=157$ .

$V(X)=157-12{,}3^2=157-151{,}29=5{,}71$ .

Par la définition de la série : $\dfrac{2\times4{,}3^2+4\times2{,}3^2+6\times0{,}3^2+5\times1{,}7^2+3\times3{,}7^2}{20}=\dfrac{114{,}2}{20}=5{,}71$ .

✅ $V(X)=5{,}71$ et $\sigma(X)=\sqrt{5{,}71}\approx2{,}39$ : c'est l'écart type de la série.

Question 4

✅ $P(X\geqslant12)=0{,}3+0{,}25+0{,}15=0{,}7$ (soit $14$ élèves sur $20$ ).

Exercice 7 (★★) : vrai ou faux

Justifier chaque réponse :

1. L'espérance d'une variable aléatoire est toujours une valeur que $X$ peut prendre.

2. Si $E(X)=0$ , alors $X$ est la variable nulle.

3. Une variance est toujours positive ou nulle, et si $V(X)=0$ alors $X$ ne prend qu'une seule valeur.

4. $E(3X-1)=3E(X)-1$ .

✏️ Correction de l'exercice 7

Affirmation 1

Pour un dé, $E(X)=3{,}5$ n'est pas une valeur possible.

❌ Faux.

Affirmation 2

Contre-exemple : $X$ vaut $-1$ ou $1$ avec la probabilité $\dfrac12$ chacun. Alors $E(X)=0$ mais $X$ n'est jamais nulle.

❌ Faux.

Affirmation 3

$V(X)=\sum p_i(x_i-\mu)^2$ est une somme de termes positifs ou nuls. Si elle vaut $0$ , chaque terme est nul : pour chaque valeur possible ( $p_i>0$ ), $x_i=\mu$ . Donc $X$ n'a qu'une seule valeur.

✅ Vrai.

Affirmation 4

C'est la linéarité de l'espérance avec $a=3$ et $b=-1$ .

✅ Vrai.

🎯 Ce qui peut tomber en contrôle

Espérance, variance, écart type (exercice 1).
Loi avec paramètres : deux équations (exercice 2).
Linéarité et mise équitable (exercice 3).
Démontrer König-Huygens (exercice 4).
Comparer deux lois par l'écart type (exercice 5).
Série statistique et variable aléatoire (exercice 6).

QCM : vérifie tes acquis

5 questions, une seule bonne réponse chacune. Choisis une réponse : la correction s'affiche tout de suite. Ton score est enregistré dans Mon espace.

Question 1 sur 5

$X$ vaut $0$ ou $4$ avec les probabilités $0{,}75$ et $0{,}25$ . Alors $E(X)=$ :

Question 2 sur 5

La formule de König-Huygens donne $V(X)=$ :

Question 3 sur 5

Si $E(X)=3$ , alors $E(2X+1)=$ :

Question 4 sur 5

L'écart type de $X$ est :

Question 5 sur 5

Deux jeux ont la même espérance. Le plus dispersé est celui qui a :

Un doute sur ce chapitre ? On en parle ensemble, sans engagement.

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