Fiche 1 : variable aléatoire et loi

Question 1

$\Omega=\{PPP\,;PPF\,;PFP\,;PFF\,;FPP\,;FPF\,;FFP\,;FFF\}$ : il y a $8$ issues, équiprobables car la pièce est équilibrée (chacune de probabilité $\dfrac18$).

Question 2

$\omega$	$PPP$	$PPF$	$PFP$	$PFF$	$FPP$	$FPF$	$FFP$	$FFF$
$X(\omega)$	$3$	$2$	$2$	$1$	$2$	$1$	$1$	$0$

Question 3

$\{X=2\}=\{PPF\,;PFP\,;FPP\}$ et $\{X\geqslant2\}=\{PPP\,;PPF\,;PFP\,;FPP\}$.

Question 4

✅ $P(X=2)=\dfrac38$ et $P(X\geqslant2)=\dfrac48=\dfrac12$.

(a)

Soit $X$ le gain algébrique en euros. Avec $\Omega=\{1\,;\dots;6\}$, on a $X(6)=5$ et $X(\omega)=-1$ pour $\omega\in\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\}$.

Les valeurs possibles sont $-1$ et $5$. $P(X=5)=\dfrac16$ et $P(X=-1)=\dfrac56$.

$x_i$	$-1$	$5$
$P(X=x_i)$	$\dfrac56$	$\dfrac16$

Vérification : $\dfrac56+\dfrac16=1$.

(b)

Soit $M$ le plus grand des deux résultats. L'univers est formé des $36$ couples $(a\,;b)$ et $M(a\,;b)=\max(a\,;b)$. Les valeurs possibles sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$.

$\{M=1\}=\{(1\,;1)\}$ donc $P(M=1)=\dfrac1{36}$. $\{M\leqslant2\}$ : les deux dés valent $1$ ou $2$, soit $2\times2=4$ couples.

✅ $P(M=1)=\dfrac1{36}$ et $P(M\leqslant2)=\dfrac4{36}=\dfrac19$.

(c)

Soit $X$ le nombre de boules rouges tirées. On tire $2$ boules, il y a $3$ vertes : on peut tirer $0$ rouge (deux vertes), $1$ rouge ou $2$ rouges (il y en a $2$ dans l'urne).

✅ Les valeurs possibles de $X$ sont $0$, $1$ et $2$.

Question 1

Les $10$ boules sont équiprobables. $X$ prend les valeurs $0$, $1$ et $4$.

$x_i$	$0$	$1$	$4$
$P(X=x_i)$	$\dfrac5{10}=0{,}5$	$\dfrac3{10}=0{,}3$	$\dfrac2{10}=0{,}2$

Vérification : $0{,}5+0{,}3+0{,}2=1$.

Question 2

$P(X\leqslant1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}5+0{,}3=0{,}8$.

✅ $P(X\leqslant1)=0{,}8$ et $P(X>1)=P(X=4)=0{,}2$ (ou $1-0{,}8$).

Question 3

$P(X\geqslant1)=P(X=1)+P(X=4)=0{,}5$.

$3$ n'est pas une valeur possible, mais $\{X\leqslant3\}$ contient les issues où $X$ vaut $0$ ou $1$.

✅ $P(X\geqslant1)=0{,}5$ et $P(X\leqslant3)=0{,}8$.

Question 1

Question 2

Les lancers sont indépendants : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.

$X=0$ : un chemin ($\overline{S}\,\overline{S}\,\overline{S}$), $P(X=0)=0{,}4^3=0{,}064$.

$X=1$ : trois chemins ($S\overline{S}\,\overline{S}$, $\overline{S}S\overline{S}$, $\overline{S}\,\overline{S}S$), chacun de probabilité $0{,}6\times0{,}4^2=0{,}096$, donc $P(X=1)=0{,}288$.

$X=2$ : trois chemins, chacun de probabilité $0{,}6^2\times0{,}4=0{,}144$, donc $P(X=2)=0{,}432$.

$X=3$ : un chemin ($SSS$), $P(X=3)=0{,}6^3=0{,}216$.

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x_i)$	$0{,}064$	$0{,}288$	$0{,}432$	$0{,}216$

Vérification : $0{,}064+0{,}288+0{,}432+0{,}216=1$.

Question 3

$P(X\geqslant2)=P(X=2)+P(X=3)=0{,}432+0{,}216=0{,}648$.

✅ $P(X\geqslant2)=0{,}648$ et $P(X\leqslant1)=0{,}064+0{,}288=0{,}352$ (soit $1-0{,}648$).

Question 1

Chaque probabilité est positive et $0{,}05+0{,}15+0{,}30+0{,}35+0{,}15=1$.

Question 2

$P(X\neq2)$ : « la probabilité que $X$ soit différent de $2$ » ; $P(X\neq2)=1-P(X=2)=0{,}70$.

$P(X\leqslant0)$ : « la probabilité que $X$ soit au plus égal à $0$ », c'est-à-dire que $X$ vaille $0$ : $0{,}05$.

« $X$ strictement inférieur à $2$ » : $P(X<2)=0{,}05+0{,}15=0{,}20$.

« $X$ au moins égal à $3$ » : $P(X\geqslant3)=0{,}35+0{,}15=0{,}50$.

✅ « $X$ compris entre $1$ et $3$ » : $P(1\leqslant X\leqslant3)=0{,}15+0{,}30+0{,}35=0{,}80$.

Question 3

$P(X\leqslant2)=0{,}05+0{,}15+0{,}30=0{,}50$ donc $P(X\geqslant3)=1-P(X\leqslant2)=0{,}50$.

✅ On retrouve $0{,}50$.

Affirmation 1

C'est la définition : une variable aléatoire réelle est une fonction de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$.

✅ Vrai.

Affirmation 2

Contre-exemple : pour la somme de deux pièces comptée en piles (valeurs $0$, $1$, $2$), $P(X=1)=\dfrac12$. Les valeurs ne sont pas toujours équiprobables.

❌ Faux.

Affirmation 3

Les événements $\{X\leqslant a\}$ et $\{X>a\}$ sont contraires.

✅ Vrai.

Affirmation 4

Déjà $0{,}6+0{,}5=1{,}1>1$ : la somme des probabilités de la loi dépasserait $1$.

❌ Faux.