Second degré : exercices de synthèse

On complète le carré : $f(x)=-2\,(x^2-2x)+6=-2\left[(x-1)^2-1\right]+6=-2(x-1)^2+2+6$.

✅ $f(x)=-2(x-1)^2+8$

Vérification : $-2(x-1)^2+8=-2x^2+4x-2+8=-2x^2+4x+6$ ✓

Le sommet de $\mathcal C$ est $S(1\,;8)$. Comme $a=-2<0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;1]$ et décroissante sur $[1\,;+\infty[$.

✅ $f$ admet un maximum égal à $8$, atteint en $x=1$.

$f(x)=0\iff-2x^2+4x+6=0\iff x^2-2x-3=0$. $\Delta=4+12=16>0$. Racines : $x_1=\dfrac{2-4}2=-1$ et $x_2=\dfrac{2+4}2=3$.

✅ $S=\{-1\,;3\}$

✅ $f(x)=-2(x+1)(x-3)$

$f$ a pour racines $-1$ et $3$ et $a=-2<0$. Elle est positive entre les racines et négative à l'extérieur.

$x$	$-\infty$		$-1$		$3$		$+\infty$
$f(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

✅ $f(x)>0$ sur $]-1\,;3[$ et $f(x)<0$ sur $]-\infty\,;-1[\cup]3\,;+\infty[$

$f(x)\ge6\iff-2x^2+4x+6\ge6\iff-2x^2+4x\ge0\iff-2x(x-2)\ge0$.

La fonction $x\mapsto-2x(x-2)$ a pour racines $0$ et $2$ et $a=-2<0$ : il est positif ou nul entre les racines.

✅ $S=[0\,;2]$

• Q1 : complétion du carré menée jusqu'au bout, forme canonique vérifiée, sommet, variations avec le signe de $a$.

• Q2 : $\Delta$ calculé, deux racines, factorisation avec le facteur $a$.

• Q3 : tableau de signes justifié par $a<0$.

• Q4 : inéquation ramenée à une fonction du second degré, racines, signe de $a$, ensemble $S$ avec les bons crochets.

Le grillage sert pour deux côtés de longueur $x$ et un côté parallèle au mur : la longueur de ce côté est $40-2x$. Les longueurs sont positives : $x>0$ et $40-2x>0$, donc $x\in]0\,;20[$.

$A(x)=x(40-2x)$

✅ $A(x)=-2x^2+40x$, pour $x\in]0\,;20[$

On complète le carré : $A(x)=-2\,(x^2-20x)=-2\left[(x-10)^2-100\right]=-2(x-10)^2+200$. Comme $a=-2<0$, $A$ admet un maximum en $x=10$, et $10\in]0\,;20[$ :

$A(10)=-200+400=200$

✅ L'aire maximale est $200$ m², pour $x=10$ m. Les dimensions sont $10$ m sur $40-20=20$ m.

$A(x)\ge150\iff-2x^2+40x-150\ge0\iff x^2-20x+75\le0$. $\Delta=400-300=100>0$, donc les racines sont $\dfrac{20-10}2=5$ et $\dfrac{20+10}2=15$. Comme $a=1>0$, la fonction est négative ou nulle entre les racines : $x\in[5\,;15]$. Cet intervalle est contenu dans $]0\,;20[$.

✅ L'aire est supérieure ou égale à $150$ m² pour $x\in[5\,;15]$.

• Q1 : intervalle de $x$ justifié par les longueurs positives, fonction $A$ écrite.

• Q2 : sommet dans l'intervalle, valeur du maximum, dimensions données.

• Q3 : inéquation ramenée à une fonction du second degré, $\Delta$, racines, signe, intervalle contrôlé dans $]0\,;20[$.

$a=1$, $b=-2(m+1)$, $c=m^2$.

$\Delta=4(m+1)^2-4m^2=4\left(m^2+2m+1-m^2\right)=4(2m+1)$

✅ $\Delta=8m+4$

$\Delta>0\iff8m+4>0\iff m>-\dfrac12$ : deux solutions.

$\Delta=0\iff m=-\dfrac12$ : une solution.

$\Delta<0\iff m<-\dfrac12$ : aucune solution.

Pour $m>-\dfrac12$ : $x=\dfrac{2(m+1)\pm\sqrt{4(2m+1)}}2$

✅ $x_1=m+1-\sqrt{2m+1}$ et $x_2=m+1+\sqrt{2m+1}$

Vérification avec $m=0$ : $x_1=1-1=0$ et $x_2=1+1=2$. L'équation est $x^2-2x=0$, de solutions $0$ et $2$ ✓

D'après la relation sur le produit des racines, $x_1x_2=\dfrac ca=m^2$.

$m^2=4\iff m=2$ ou $m=-2$. La condition $m>-\dfrac12$ exclut $-2$.

✅ $m=2$

Vérification : pour $m=2$, l'équation est $x^2-6x+4=0$, de discriminant $20>0$ et de produit $4$ ✓

• Q1 : développement correct de $\Delta$.

• Q2 : trois cas justifiés par le signe de $\Delta$, avec $m$ et $-\dfrac12$.

• Q3 : formules des racines avec $\sqrt{\Delta}=2\sqrt{2m+1}$ simplifié, vérification pour $m=0$.

• Q4 : produit $\dfrac ca$, solution écartée car hors de la condition, vérification.

On développe : $-(x-2)^2+9=-x^2+4x-4+9=-x^2+4x+5$ ✓ et $-(x+1)(x-5)=-(x^2-4x-5)=-x^2+4x+5$ ✓.

La forme factorisée donne $f(x)=0\iff(x+1)(x-5)=0\iff x=-1$ ou $x=5$. $S=\{-1\,;5\}$. Les racines, rangées dans l'ordre croissant, sont $-1<5$ et $a=-1<0$ : $f$ est positive entre les racines.

$x$	$-\infty$		$-1$		$5$		$+\infty$
$f(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

✅ $f(x)>0$ sur $]-1\,;5[$ et $f(x)<0$ sur $]-\infty\,;-1[\,\cup\,]5\,;+\infty[$

La forme canonique $-(x-2)^2+9$ donne le sommet $S(2\,;9)$. Comme $a=-1<0$, $f$ est croissante sur $]-\infty\,;2]$ et décroissante sur $[2\,;+\infty[$.

✅ $f$ admet un maximum égal à $9$, atteint en $x=2$.

La forme développée est la plus rapide : $f(x)=5\iff-x^2+4x=0\iff-x(x-4)=0\iff x=0$ ou $x=4$. $S=\{0\,;4\}$.

Pour l'inéquation : $-x(x-4)\ge0$ a pour racines $0$ et $4$ et $a=-1<0$ : la fonction est positive ou nulle entre les racines.

✅ $f(x)\ge5\iff x\in[0\,;4]$

La condition $-x^2+4x+5>0$ est celle de la question 2, dont l'ensemble solution est $]-1\,;5[$ : les entiers de $[-3\,;7]$ dans cet intervalle sont $0$, $1$, $2$, $3$ et $4$.

✅ La liste obtenue est [0, 1, 2, 3, 4].

• Q1 : deux développements écrits, aucune forme confondue avec une autre.

• Q2 : factorisation utilisée (pas de $\Delta$), racines rangées dans l'ordre croissant, tableau de signes justifié par $a<0$.

• Q3 : forme canonique utilisée pour le sommet et l'extremum, sens de variation justifié par le signe de $a$.

• Q4 : forme développée choisie, factorisation directe, ensemble $S$ avec les bons crochets.

• Q5 : condition de la liste identifiée à une inéquation, liste donnée.