Guide de rédaction : second degré

🎯 Le principe du chapitre

Avec le second degré, un correcteur regarde surtout cinq choses :

• le discriminant calculé avec son signe ;
• la formule des racines citée quand $\Delta>0$ ;
• la vérification (développement, racine testée) ;
• le signe de $a$ utilisé pour les signes et les variations ;
• la conclusion sous forme d'ensemble $S$ ou de phrase en contexte.

Situation 1 : calculer un discriminant.

« $a=2$, $b=-5$, $c=2$. $\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times2\times2=9$. »

💡 Mets des parenthèses autour des nombres négatifs.

Situation 2 : résoudre une équation avec $\Delta>0$.

« $\Delta=9>0$. L'équation admet deux solutions : $x_1=\dfrac{5-3}4=\dfrac12$ et $x_2=\dfrac{5+3}4=2$. $S=\left\{\dfrac12\,;2\right\}$. »

Situation 3 : $\Delta=0$ ou $\Delta<0$.

« $\Delta=0$ : l'équation admet une unique solution $x_0=-\dfrac b{2a}=\dfrac32$. $S=\left\{\dfrac32\right\}$. »

« $\Delta=-16<0$ : l'équation n'admet aucune solution réelle. $S=\varnothing$. »

Situation 4 : mettre sous forme canonique.

« $f(x)=2x^2-12x+7=2\,(x^2-6x)+7$. Or $x^2-6x=(x-3)^2-9$, donc $f(x)=2\left[(x-3)^2-9\right]+7=2(x-3)^2-11$. Vérification : $2(x-3)^2-11=2x^2-12x+7$. »

💡 On complète le carré avec $x^2+2px=(x+p)^2-p^2$.

Situation 5 : factoriser.

« $x^2-9$ : différence de deux carrés, donc $(x-3)(x+3)$. » « $x^2-5x+6$ : somme $5$, produit $6$, donc $(x-2)(x-3)$. »

« $\Delta=25>0$, racines $-1$ et $\dfrac32$. Donc $2x^2-x-3=2(x+1)\left(x-\dfrac32\right)=(x+1)(2x-3)$. »

⚠️ N'oublie pas le facteur $a$. Quand une factorisation directe est possible (facteur commun, identité remarquable, racine évidente, somme et produit), elle évite le calcul de $\Delta$.

Situation 6 : sommet, axe de symétrie, extremum.

« $f(x)=-2(x-2)^2+5$ (complétion du carré). Le sommet est $S(2\,;5)$. Comme $a=-2<0$, $f$ admet un maximum égal à $5$, atteint en $x=2$. La courbe est symétrique par rapport à la droite $x=2$. »

Situation 7 : tableau de variations.

« $a<0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha\,;+\infty[$, avec $f(\alpha)=\beta$. »

Situation 8 : signe d'une fonction donnée sous forme factorisée.

« $f(x)=-2(x+1)(x-3)$. Les racines, dans l'ordre croissant, sont $-1$ et $3$, et $a=-2<0$. La fonction est positive entre les racines et négative à l'extérieur. »

Situation 9 : résoudre une inéquation.

« $-2x^2+x+3>0$. Racines $-1$ et $\dfrac32$, $a<0$ : la fonction est positive entre les racines. $S=\left]-1\,;\dfrac32\right[$. »

⚠️ Attention à l'inégalité stricte ou large pour les crochets.

Situation 10 : une équation qui se ramène au second degré.

« $(x-2)^2=3x-2\iff x^2-4x+4=3x-2\iff x^2-7x+6=0$. $\Delta=25>0$, donc $x_1=1$ et $x_2=6$. Vérification : $(6-2)^2=16=3\times6-2$. $S=\{1\,;6\}$. »

⚠️ Dans un problème, rejette les solutions qui n'ont pas de sens (longueur négative).

Situation 11 : somme et produit des racines.

« $2x^2-7x+5$ : $a+b+c=0$, donc $1$ est racine. Le produit des racines vaut $\dfrac ca=\dfrac52$, donc l'autre racine est $\dfrac52$. »

Situation 12 : discuter selon un paramètre.

« $\Delta=m^2-16=(m-4)(m+4)$. Si $m<-4$ ou $m>4$ : deux solutions. Si $m=\pm4$ : une solution. Si $-4<m<4$ : aucune solution. »

Situation 13 : un problème d'optimisation.

« Soit $x$ la longueur d'un côté, avec $x\in]0\,;10[$.

L'aire est $A(x)=-x^2+10x$.

$A(x)=-(x-5)^2+25$ : comme $a=-1<0$, $A$ admet un maximum en $x=5\in]0\,;10[$, et $A(5)=25$.

L'aire maximale est $25$ m², obtenue pour un carré de côté $5$ m. »

⚠️ Intervalle, sommet dans l'intervalle, unité.

Situation 14 : une fonction de signe constant.

« $a=1>0$. La fonction $x\mapsto x^2+mx+1$ est strictement positive pour tout $x$ si et seulement si $\Delta<0$, soit $m^2-4<0$, c'est-à-dire $m\in]-2\,;2[$. »

Situation 15 : choisir la forme adaptée.

« $f(x)=3x^2-6x-9=3(x-1)^2-12=3(x+1)(x-3)$. Pour le minimum, j'utilise la forme canonique : $f(x)\ge-12$, avec égalité en $x=1$. Pour résoudre $f(x)=0$ et étudier le signe, j'utilise la forme factorisée. Pour résoudre $f(x)=-9$, j'utilise la forme développée : $3x^2-6x=0$. »

💡 Dis quelle forme tu choisis, et pourquoi, en une demi-phrase.

a) Une factorisation.

❌ « $2x^2-x-3=(x+1)(x-1{,}5)$. »

✅ « $\Delta=25>0$, racines $-1$ et $\dfrac32$, donc $2x^2-x-3=2(x+1)\left(x-\dfrac32\right)=(x+1)(2x-3)$. »

La première a oublié le facteur $a=2$.

b) Une inéquation.

❌ « $x^2-3x-4\le0$ donc $x\le-1$ ou $x\ge4$. »

✅ « Les racines sont $-1$ et $4$ et $a=1>0$. La fonction est négative ou nulle entre les racines. $S=[-1\,;4]$. »

La première a inversé l'intérieur et l'extérieur.

c) Une équation à ramener au second degré.

❌ « $(x-2)^2=3x-2$ donc $x-2=3x-2$, donc $x=0$. »

✅ « $(x-2)^2=3x-2\iff x^2-7x+6=0$, donc $x=1$ ou $x=6$. $S=\{1\,;6\}$. »

La première a simplifié un carré comme si c'était un terme du premier degré : on développe et on passe tout dans un membre.

d) Un problème.

❌ « Le maximum est $25$. »

✅ « L'aire maximale est $25$ m², atteinte pour un carré de côté $5$ m. »

• J'ai calculé $\Delta$ et donné son signe.
• J'ai cherché une factorisation directe avant de calculer $\Delta$.
• J'ai écrit les racines avec la formule et vérifié une racine ou développé.
• Ma factorisation contient le facteur $a$.
• Pour une inéquation, j'ai utilisé le signe de $a$ et écrit $S$ avec les bons crochets.
• J'ai choisi la forme adaptée (développée, canonique, factorisée) à la question.
• Pour un problème, j'ai défini l'inconnue, son intervalle, la fonction, et conclu avec l'unité.

😄 Un discriminant, ça se calcule comme un ticket de caisse : un oubli de signe et le total est faux.