Fiche 3 : problèmes et paramètres

Question 1

Le demi-périmètre est $10$ : l'autre dimension vaut $10-x$. Les dimensions sont positives : $x\in]0\,;10[$.

$A(x)=x(10-x)$

✅ $A(x)=-x^2+10x$, pour $x\in]0\,;10[$

Question 2

On complète le carré : $A(x)=-(x^2-10x)=-\left[(x-5)^2-25\right]=-(x-5)^2+25$.

Le carré $(x-5)^2$ est positif ou nul et précédé du signe $-$ : $A(x)\le25$, avec égalité si et seulement si $x=5$. Comme $5\in]0\,;10[$, ce maximum est atteint dans l'intervalle.

$A(5)=-25+50=25$

✅ L'aire maximale est $25$ m², atteinte pour $x=5$.

Les dimensions sont $5$ m sur $10-5=5$ m : c'est un carré.

Question 1

On complète le carré : $h(t)=-5\,(t^2-4t)+1=-5\left[(t-2)^2-4\right]+1=-5(t-2)^2+21$. Comme $a=-5<0$, $h$ admet un maximum en $t=2$.

$h(2)=-20+40+1=21$

✅ La hauteur maximale est $21$ m, atteinte à $t=2$ s.

Question 2

On résout $h(t)=0$, c'est-à-dire $5t^2-20t-1=0$. $\Delta=400+20=420>0$. Les solutions sont $t=\dfrac{20\pm\sqrt{420}}{10}=2\pm\dfrac{\sqrt{420}}{10}$. Seule la solution positive convient :

$t=2+\dfrac{\sqrt{420}}{10}\approx4{,}05$

✅ Le ballon touche le sol au bout d'environ $4{,}05$ s.

Question 3

$h(t)\ge16\iff-5t^2+20t-15\ge0\iff t^2-4t+3\le0$. $\Delta=16-12=4$, donc les racines sont $\dfrac{4-2}2=1$ et $\dfrac{4+2}2=3$. Comme $a=1>0$, la fonction est négative entre les racines : $t\in[1\,;3]$.

✅ Le ballon est à plus de $16$ m pendant $3-1=2$ secondes.

Question 1

$B(x)>0\iff-2x^2+120x-1\,000>0\iff x^2-60x+500<0$. $\Delta=3\,600-2\,000=1\,600>0$, donc les racines sont $\dfrac{60-40}2=10$ et $\dfrac{60+40}2=50$. Comme $a=1>0$, la fonction est négative entre les racines.

✅ Le bénéfice est strictement positif pour $x\in]10\,;50[$, c'est-à-dire pour une production comprise entre $1\,000$ et $5\,000$ objets.

Question 2

On complète le carré : $B(x)=-2\,(x^2-60x)-1\,000=-2\left[(x-30)^2-900\right]-1\,000=-2(x-30)^2+800$. Comme $a=-2<0$, $B$ admet un maximum en $x=30$, et $30\in[0\,;60]$ :

$B(30)=-1\,800+3\,600-1\,000=800$

✅ Le bénéfice maximal est de $800$ €, pour une production de $3\,000$ objets.

Question 1

$x^2-4x+3=2x-6\iff x^2-6x+9=0\iff(x-3)^2=0\iff x=3$.

La parabole et la droite ont un seul point commun, d'abscisse $3$ : $y=9-12+3=0$, soit le point $(3\,;0)$.

✅ La droite $d$ est tangente à la parabole $\mathcal P$ au point $(3\,;0)$.

Question 2

$x^2-4x+3-(2x-6)=(x-3)^2\ge0$ pour tout $x$.

✅ La parabole est au-dessus de la droite $d$, avec un unique point de contact.

La fonction $x\mapsto x^2+mx+1$ a pour coefficient dominant $a=1>0$. Il est strictement positif pour tout réel $x$ si et seulement s'il n'a aucune racine réelle, c'est-à-dire si $\Delta<0$.

$\Delta=m^2-4<0\iff(m-2)(m+2)<0\iff-2<m<2$

✅ $x^2+mx+1>0$ pour tout réel $x$ si et seulement si $m\in]-2\,;2[$.

Contrôle : pour $m=0$, $x^2+1>0$ ✓ ; pour $m=3$, $x^2+3x+1$ s'annule (par exemple $\Delta=5>0$).

Question 1

nb_solutions(1, -6, 9) : $\Delta=36-36=0$, renvoie 1.

nb_solutions(1, 1, 1) : $\Delta=1-4=-3<0$, renvoie 0.

Question 2

for m in range(-5, 6):
    print(m, nb_solutions(1, -m, 4))

Le script affiche $1$ pour $m=-4$ et pour $m=4$ (où $\Delta=m^2-16=0$), $2$ pour $m=\pm5$, et $0$ pour $-3\le m\le3$. Cela confirme l'exercice 4 de la fiche 2.

Affirmation 1

C'est le résultat de l'exercice 1 : le maximum de $x(10-x)$ est atteint pour $x=5$.

✅ Vrai.

Affirmation 2

Si le sommet n'est pas dans l'intervalle, le maximum sur l'intervalle est atteint à une borne : il faut comparer les valeurs aux bornes.

❌ Faux.

Affirmation 3

Une droite et une parabole peuvent avoir deux, un (tangente) ou aucun point commun (exercice 4).

❌ Faux.

Question 1

$x^2+10x=(x+5)^2-25$, donc $x^2+10x=24\iff(x+5)^2=49$. Le nombre $x+5$ est positif et son carré vaut $49$ : $x+5=7$.

✅ $x=2$

Question 2

from math import sqrt

def solution_positive(p, q):
    grand_carre = q + (p/2)**2     # aire du grand carré
    return sqrt(grand_carre) - p/2 # côté du grand carré, moins p/2

Pour $p=10$ et $q=24$ : grand_carre vaut $24+25=49$, sa racine carrée $7$, et on retranche $5$.

✅ solution_positive(10, 24) renvoie 2.0.

Pour $q=11$, $39$ : $\sqrt{36}-5=1$ et $\sqrt{64}-5=3$.

✅ La liste vaut [1.0, 2.0, 3.0].

Question 3

$x^2+10x-24=0$ : $\Delta=100+96=196=14^2>0$, donc $x=\dfrac{-10-14}2=-12$ ou $x=\dfrac{-10+14}2=2$.

✅ La solution positive est bien $2$. L'autre solution, $-12$, est négative : dans une méthode qui additionne des aires de carrés et de rectangles, et dans un monde sans nombres négatifs, elle n'apparaît pas.

Question 1

$3(x-1)^2-12=3x^2-6x+3-12=3x^2-6x-9$ ✓ et $3(x+1)(x-3)=3(x^2-2x-3)=3x^2-6x-9$ ✓.

Question 2

a. Forme développée : $f(0)=-9$.

b. Forme factorisée : $3(x+1)(x-3)=0\iff x=-1$ ou $x=3$. $S=\{-1\,;3\}$.

c. Forme canonique : $(x-1)^2\ge0$, donc $f(x)\ge-12$ avec égalité pour $x=1$. Le minimum est $-12$, atteint en $x=1$.

d. Forme développée : $f(x)=-9\iff3x^2-6x=0\iff3x(x-2)=0$. $S=\{0\,;2\}$.

e. Forme factorisée : racines $-1<3$ et $a=3>0$ : $f(x)>0$ sur $]-\infty\,;-1[\,\cup\,]3\,;+\infty[$ et $f(x)<0$ sur $]-1\,;3[$.

f. Forme canonique : $3(x-1)^2-12=-12\iff(x-1)^2=0$. $S=\{1\}$.

Question 1

$\bar x=\dfrac{2+4+4+6+9}5=\dfrac{25}5=5$. Les écarts à la moyenne sont $-3$, $-1$, $-1$, $1$, $4$, d'où $V=\dfrac{9+1+1+1+16}5=\dfrac{28}5=5{,}6$.

✅ $\bar x=5$ et $V=\dfrac{28}5$

Question 2

En développant chaque carré : $g(t)=\dfrac15\left[5t^2-2t(2+4+4+6+9)+(4+16+16+36+81)\right]=\dfrac15\left[5t^2-50t+153\right]$.

✅ $g(t)=t^2-10t+\dfrac{153}5$

Question 3

$g(t)=(t-5)^2-25+\dfrac{153}5=(t-5)^2+\dfrac{153-125}5=(t-5)^2+\dfrac{28}5$.

✅ Le minimum de $g$ est $\dfrac{28}5$, atteint en $t=5$ : c'est la moyenne $\bar x$, et le minimum est la variance $V$.