Source : annexe du programme de l’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de terminale de la voie générale. Les items sont cités mot pour mot ; seule la mise en forme des notations mathématiques est normalisée.
| Item du BO (texte officiel, cité exactement) | Exercices |
|---|---|
| Les ensembles considérés dans cette section sont finis mais on introduit dans le cas général (ensembles quelconques) les notions suivantes : couple, triplet, k-uplet (ou k-liste) ; produit cartésien de deux, trois, k ensembles ; ensemble A^k des k-uplets d’éléments d’un ensemble A. | B2, B4, B9, S11 |
| Contenus : Principe additif : nombre d’éléments d’une réunion d’ensembles deux à deux disjoints. | B2, B3, B7, B9, S1, S2, D5 |
| Contenus : Principe multiplicatif : nombre d’éléments d’un produit cartésien. Nombre de k-uplets (ou k-listes) d’un ensemble à n éléments. | B2, B4, B9, S6, S9, S10, S11, D5 |
| Contenus : Nombre des parties d’un ensemble à n éléments. Lien avec les n-uplets de {0, 1}, les mots de longueur n sur un alphabet à deux éléments, les chemins dans un arbre, les issues dans une succession de n épreuves de Bernoulli. | B8, B11, S11, D3 |
| Contenus : Nombre des k-uplets d’éléments distincts d’un ensemble à n éléments. Définition de n! Nombre de permutations d’un ensemble fini à n éléments. | B1, B5, B10, S1, S10, S12, D3, D8 |
| Contenus : Combinaisons de k éléments d’un ensemble à n éléments : parties à k éléments de l’ensemble. Représentation en termes de mots ou de chemins. | B6, B7, S2, S3, S4, S11, D2 (q. 4), D3, D6 |
| Contenus : Pour 0 ⩽ k ⩽ n, formules : C(n,k) = n(n – 1)…(n – k + 1)/k! = n!/((n – k)! k!). | B6 (q. 1, 4), B10, S5, D3 (q. 2) |
| Contenus : Explicitation pour k = 0, 1, 2. Symétrie. Relation et triangle de Pascal. | B6 (q. 2, 3, 5), B8, S7, S8, D1 |
| Capacités attendues : Dans le cadre d’un problème de dénombrement, utiliser une représentation adaptée (ensembles, arbres, tableaux, diagrammes) et reconnaitre les objets à dénombrer. | B2 (arbre), B3 (tableau), B9, S4 (quadrillage), S5, S6, S11 (arbre), D5 |
| Capacités attendues : Effectuer des dénombrements simples dans des situations issues de divers domaines scientifiques (informatique, génétique, théorie des jeux, probabilités, etc.). | B4 (génétique, informatique), B5, B10, S5 (jeux, probabilités), S6, S9, S10, D7, D8 |
| Démonstrations : Démonstration par dénombrement de la relation : somme des C(n,k) pour k de 0 à n = 2^n. | D3 (q. 1 à 3), S11 (cas n = 4) |
| Démonstrations : Démonstrations de la relation de Pascal (par le calcul, par une méthode combinatoire). | D1 (q. 1 par le calcul, q. 2 par dénombrement) |
| Approfondissement possible : Combinaisons avec répétitions. | D6 |
| Exemples d’algorithme : Pour un entier n donné, génération de la liste des coefficients C(n,k) à l’aide de la relation de Pascal. | D1 (q. 4) |
| Exemples d’algorithme : Génération des permutations d’un ensemble fini, ou tirage aléatoire d’une permutation. | S12 (génération et tirage aléatoire), S10 (q. 5, itertools) |
| Exemples d’algorithme : Génération des parties à 2, 3 éléments d’un ensemble fini. | B11, D3 (q. 5, mots binaires) |
| Vocabulaire ensembliste et logique : Les élèves doivent connaitre les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’ensemble vide, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondants : Ø, ∈, ⊂, ∩, ∪, { … }, ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Ils connaissent également la notion de couple, de triplet et plus généralement de n-uplet et celle de produit cartésien. | B3, B9, D3 (q. 4), D5 (q. 1) |
| Vocabulaire ensembliste et logique : On utilise la notation Card(A) pour le cardinal (nombre d’éléments) d’un ensemble fini A. | B9, D5 |
| Vocabulaire ensembliste et logique : démontrer une propriété par récurrence. (Combinatoire : « Cette partie donne également l’occasion de travailler le raisonnement par récurrence et de prolonger le travail engagé en classe de première sur les aspects algébriques ou combinatoires des suites. ») | D2 (q. 3) |
| Vocabulaire ensembliste et logique : La notion de bijection est rencontrée naturellement […] en dénombrement. | D1 (q. 3), D3 (q. 1, 4), D6 (q. 1), S11 (q. 1) |
| Notion de liste, capacités attendues : Générer une liste (en extension, par ajouts successifs ou en compréhension). Manipuler des éléments d’une liste (ajouter, supprimer, etc.) et leurs indices. Parcourir une liste. Itérer sur les éléments d’une liste. | B11, S10 (q. 5), D1 (q. 4), D8 (q. 5) |
| Histoire des mathématiques : Des propriétés arithmétiques du Triangle de Pascal étaient présentes dans les travaux combinatoires des mathématiques indiennes et chinoises […] | Non couvert (sans enjeu pour des exercices d’application) |