Source : annexe du programme de l’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de terminale de la voie générale. Les items sont cités mot pour mot ; seule la mise en forme des notations mathématiques est normalisée.
Légende : B = fiche Bases, S = fiche Standard, D = fiche Défi ; « (q. 3) » = question 3 de l’exercice.
| Item du BO (texte officiel) | Exercices |
|---|---|
| On met en regard les écritures ∫ₐᵇ ƒ(x)dx et Σᵢ₌₁ⁿ ƒ(xᵢ)Δx . | B10, S7, D9 |
| La méthode des rectangles fournit des encadrements pertinents de sommes pour lesquelles on ne dispose pas de formule exacte. | D7 (encadrement de Hₙ) |
| Item du BO (texte officiel) | Exercices |
|---|---|
| Définition de l’intégrale d’une fonction continue positive définie sur un segment [a,b], comme aire sous la courbe représentative de ƒ. Notation ∫ₐᵇ ƒ(x)dx . | B3, B4, B11 (exercice ajouté lors de l’audit), D1 |
| Théorème : si ƒ est une fonction continue positive sur [a,b], alors la fonction Fₐ définie sur [a,b] par Fₐ(x) = ∫ₐˣ ƒ(t)dt est la primitive de ƒ qui s’annule en a. | D1 (q. 1 à 3), S5 (q. 1), S1 (q. 5), D6 (q. 1) |
| Sous les hypothèses du théorème, relation ∫ₐᵇ ƒ(x)dx = F(b) − F(a) où F est une primitive quelconque de ƒ. Notation [F(x)]ₐᵇ . | B1, B4, S1, D1 (q. 4) |
| Théorème : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives. | B9 (q. 1 et 3), S5 (q. 1), D6 (q. 1) ; chapitre 7 : B4 (q. 1), D2 (q. 2) |
| Définition par les primitives de ∫ₐᵇ ƒ(x)dx lorsque ƒ est une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle contenant a et b. | B1, B2, B5, B9, S8 |
| Linéarité, positivité et intégration des inégalités. Relation de Chasles. | B2, B3, B6, S1, S4, S5, D3, D4, D7 |
| Valeur moyenne d’une fonction. | B3 (q. 4), B7, B11 (q. 2 et 3), S3 (q. 2.d), S6, S10 (q. 3), D3 |
| Intégration par parties. | B8, S3, S6, S9, D2, D8 |
| Item du BO (texte officiel) | Exercices |
|---|---|
| Estimer graphiquement ou encadrer une intégrale, une valeur moyenne. | B11 (estimation graphique par comptage de carreaux, exercice ajouté lors de l’audit), B10, S5 (q. 2), S7 (encadrement par rectangles), D4 (q. 4), D7 (q. 1 et 2), D9 |
| Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive, à l’aide d’une intégration par parties. | B1, B8, S1, S3, S6, S9, S10, D2, D3, D8 (q. 3) |
| Majorer (minorer) une intégrale à partir d’une majoration (minoration) d’une fonction par une autre fonction. | B6 (q. 1), S4 (q. 3 et 4), S5 (q. 2 et 3), D3, D4 (q. 4), D7 (q. 1 et 2) |
| Calculer l’aire entre deux courbes. | B5 (q. 2), S2, S9 (q. 1 et 3) |
| Étudier une suite d’intégrales, vérifiant éventuellement une relation de récurrence. | S4, D4 |
| Interpréter une intégrale, une valeur moyenne dans un contexte issu d’une autre discipline. | B7 (q. 2), S6 |
| Item du BO (texte officiel) | Exercices |
|---|---|
| Pour une fonction positive croissante ƒ sur [a,b], la fonction x ↦ ∫ₐˣ ƒ(t)dt est une primitive de ƒ. Pour toute primitive F de ƒ, relation ∫ₐᵇ ƒ(x)dx = F(b) − F(a). | D1 |
| Intégration par parties. | D8 (exercice ajouté lors de l’audit) |
| Item du BO (texte officiel) | Exercices |
|---|---|
| Approximation d’une aire par l’utilisation de suites adjacentes. | D9 (exercice ajouté lors de l’audit) |
| Encadrement de Hₙ = Σₖ₌₁ⁿ 1/k par des intégrales. | D7 |
| Item du BO (texte officiel) | Exercices |
|---|---|
| On trouve des anticipations du calcul intégral chez Archimède (longueur du cercle, quadrature de la parabole, cubature des solides), Liu-Hui (volume d’un cylindre), Ibn al-Haytham (volume d’un paraboloïde) puis, bien plus tard, chez Grégoire de Saint-Vincent (méthode d’exhaustion) ou encore chez Galilée ou Cavalieri (méthode des indivisibles). | D9 (aire sous la parabole x ↦ x² par des rectangles, démarche de la quadrature de la parabole ; pas de texte historique) |
| Le calcul différentiel s’est développé de concert avec la physique mathématique au XVIIe siècle. Parmi les initiateurs, Fermat, Huygens, Pascal et Barrow reconnaissent que le problème des aires (le calcul intégral) est le problème inverse de celui des tangentes (la dérivation) ; ce thème peut être abordé à partir des travaux sur la quadrature de l’hyperbole. | S7 (aire sous l’hyperbole y = 1/x et ln 2), D7 |
| Item du BO (texte officiel) | Exercices |
|---|---|
| Calculer une primitive en utilisant les primitives de référence et les fonctions de la forme (v’ ○ u) × u’. | B1 (e, f), B9 (q. 3), S1, S8, S10, D3 |
| Calculer la fonction dérivée, déterminer les limites et étudier les variations d’une fonction construite simplement à partir des fonctions de référence. | S1, S5, S6, S8, D5, D6 |
| Étudier les solutions d’une équation du type ƒ (x) = k : existence, unicité, encadrement. | S5 (q. 4) |
| Établir la convergence d’une suite, ou sa divergence vers + ∞ ou – ∞. ; Théorème admis : toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge. | S4 (q. 3 et 4), D4, D7 (q. 3), D9 |
| Recherche de seuils. Recherche de valeurs approchées de π , e, √2, (1 + √5)/2, ln(2), etc. | S6 (q. 5), S7 (ln 2), D4 (e), D5 (q. 4), D7 (q. 4) |
| Item du BO (texte officiel) | Exercices |
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| Les algorithmes peuvent être écrits en langage naturel ou utiliser le langage Python. | B10, S4 (q. 5), S6 (q. 5), S7 (q. 4), D4 (q. 5), D5 (q. 4), D7 (q. 4), D9 (q. 5) |
| mobiliser un contre-exemple pour montrer qu’une proposition est fausse | B6, S8 |
| raisonner par équivalence, utiliser une propriété caractéristique | D6 (q. 4 et 5 : analyse puis vérification réciproque) |
| formuler la réciproque d’une implication, ou sa contraposée ; distinguer condition nécessaire et condition suffisante | D6 (q. 3 à 5) |
| Le symbole de somme ∑ peut être introduit et utilisé pour écrire certaines expressions de façon concise, mais la manipulation de ce symbole pour démontrer des égalités n’est pas un objectif du programme. | Respecté partout sauf D4 (q. 3) et D9 (q. 1) (exercices d’approfondissement, voir plus bas). |
| Générer une liste ; Manipuler des éléments d’une liste ; Parcourir une liste ; Itérer sur les éléments d’une liste. ; démontrer une propriété par récurrence ; raisonner par l’absurde ; formuler la négation de propositions simples ; raisonner par disjonctions des cas | Non travaillés spécifiquement dans ce chapitre (items transversaux, travaillés dans d’autres chapitres : Logarithme S9, D7, Primitives S11). |
B11 (estimation graphique d’une intégrale), D8 (démonstration de l’intégration par parties), D9 (suites adjacentes et aire sous la parabole), signalement de D4 (q. 3).