Couverture du programme : Terminale, Continuité et TVI

Couverture du programme : Terminale spécialité, Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Source : annexe du programme de l’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de terminale de la voie générale. Les items sont cités mot pour mot ; seule la mise en forme des notations mathématiques est normalisée. B = fiche Bases, S = fiche Standard, D = fiche Défi. Les citations de la colonne de gauche sont copiées du texte officiel.

Remarques d’introduction du BO

Item du BO (texte officiel)	Exercices
La justification de la continuité ou de la dérivabilité d’une fonction sur un intervalle n’est pas un objectif du programme.	B5 (exercice de consolidation, facultatif au regard de cette remarque), S1, S8, D4 (étude de la continuité en un point de raccordement par les limites, sans justification de continuité « sur un intervalle » par les théorèmes généraux)
Hormis pour la fonction exponentielle, l’étude de la réciproque d’une fonction continue n’est pas au programme.	Respecté : aucun exercice n’étudie une fonction réciproque (D4.4 se limite à résoudre l’équation $f(x)=k$ pour deux valeurs de $k$ )

Contenus

Item du BO (texte officiel)	Exercices
Fonction continue en un point (définition par les limites), sur un intervalle.	En un point : B1, B2, B3, B5.5, S1, S8, D4. Sur un intervalle : B1.3, B5, S1.1, S8.2
Toute fonction dérivable est continue.	B6.1, B6.2, D1.1, S8.3, D4.2
Image d’une suite convergente par une fonction continue.	S4.4 (et t-01 : S3, S6, D4, D5)
Théorème des valeurs intermédiaires.	B1.5, B6.3 à B6.6, S5, S6.3, D3, D6.2, D7
Cas des fonctions continues strictement monotones.	B7, B8, S1.3, S2, S3, S5.2, S7, S9, D1.2 à D1.4, D2.1, D4.4, D5, D7.4, D8.1

Capacités attendues

Item du BO (texte officiel)	Exercices
Étudier les solutions d’une équation du type ƒ (𝑥) = k : existence, unicité, encadrement.	Existence : B1.4, B6.3, B7, B8, S2, S3, S7, S9, D5. Unicité : B7, B8, S2, S3, S7, D2.1, D4.4, D7.4, D8.1. Encadrement : B7.3, S2.4, S3.3, S5.3, S7.3, S9.3, D2.2, D5.5, D7.4, D8.5
Pour une fonction continue ƒ d’un intervalle dans lui-même, étudier une suite définie par une relation de récurrence 𝑢𝑛 + 1 = ƒ (𝑢𝑛).	S4 (et t-01 : S3, S6, D4, D5)

Exemples d’algorithme

Item du BO (texte officiel)	Exercices
Méthode de dichotomie.	B9, S6, D6
Méthode de Newton, méthode de la sécante.	Sécante : D8. Newton : chapitre « Dérivation et convexité », t-04 D7

Approfondissements possibles

Item du BO (texte officiel)	Exercices
Démonstration par dichotomie du théorème des valeurs intermédiaires.	Non traité (approfondissement facultatif)
Fonctions continues de ℝ dans ℝ telles que ƒ (𝑥 + 𝑦) = ƒ (𝑥) + ƒ (𝑦), pour tous réels 𝑥, 𝑦.	Non traité (approfondissement facultatif)
Prolongement par continuité.	B3.2, B4

Parties transversales

Item du BO (texte officiel)	Exercices
mobiliser un contre-exemple pour montrer qu’une proposition est fausse ;	B6, S8.3
formuler la réciproque d’une implication, ou sa contraposée ;	B6.1 et B6.2 (« dérivable implique continue » et sa réciproque), D1.3
démontrer une propriété par récurrence.	S4.2
Les algorithmes peuvent être écrits en langage naturel ou utiliser le langage Python.	B9, S6, D6, D8
Histoire des mathématiques	Non traité : sans objet pour ce chapitre

Exercices hors programme ou à statut particulier

Les anciens exercices utilisant la partie entière (B5.5 et S8) sortaient du BO (fonction non citée) : ils ont été remplacés par $g(x)=1/x$ prolongée par $g(0)=0$ (B5.5) et par $|x^2-4x+3|$ , fonction continue non dérivable (S8).
D4 : l’ancienne question demandant l’expression de la solution $x_k$ en fonction de $k$ revenait à étudier une fonction réciproque, hors programme. Elle est remplacée par la résolution pour $k=\frac14$ et $k=5$ .
D3 (cordes horizontales) et D7 (racine d’un polynôme de degré 3) : applications du théorème des valeurs intermédiaires, dans le cadre du programme.