Source : annexe du programme de l’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de terminale de la voie générale. Les items sont cités mot pour mot ; seule la mise en forme des notations mathématiques est normalisée.
| Item du BO (texte officiel, cité exactement) | Exercices |
|---|---|
| Sommes, contenus : Somme de deux variables aléatoires. Linéarité de l’espérance : E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX) = aE(X). | B3, B5, B10, S1, S3, S4, S8, D3 |
| Sommes, contenus : Dans le cadre de la succession d’épreuves indépendantes, exemples de variables indépendantes X, Y et relation d’additivité V(X + Y) = V(X) + V(Y). Relation V(aX) = a²V(X). | B2, B3, B5, B10, S1, S2, S11, D4, D6, D8 |
| Sommes, contenus : Application à l’espérance, la variance et l’écart type de la loi binomiale. | B4, B10, S2, S9, D6, D8 |
| Sommes, contenus : Échantillon de taille n d’une loi de probabilité : liste (X1, … , Xn) de variables indépendantes identiques suivant cette loi. Espérance, variance, écart type de la somme Sn = X1 + … + Xn et de la moyenne Mn = Sn/n. | B6, S1, S7, S10, D4, D9 |
| Sommes, capacités attendues : Représenter une variable comme somme de variables aléatoires plus simples. | S1, S4, S11, D3, D8 |
| Sommes, capacités attendues : Calculer l’espérance d’une variable aléatoire, notamment en utilisant la propriété de linéarité. | B3, B5, S3, S4, D3 |
| Sommes, capacités attendues : Calculer la variance d’une variable aléatoire, notamment en l’exprimant comme somme de variables aléatoires indépendantes. | B3, B5, S1, S2, S11, D6, D8 |
| Sommes, démonstrations : Espérance et variance de la loi binomiale. | D8 |
| Sommes, objectifs : La démonstration de la linéarité de l’espérance […] Les professeurs peuvent choisir de l’admettre, ou de la justifier sur un exemple. | B5 (q. 2), S3 (q. 2) |
| Sommes, approfondissements possibles : Relation E(XY) = E(X)E(Y) pour des variables aléatoires indépendantes X, Y Application à la variance de X + Y. | D2 (q. 1 à 4) |
| Concentration, contenus : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Pour une variable aléatoire X d’espérance μ et de variance V, et quel que soit le réel strictement positif δ : P(│X – μ│ ⩾ δ) ⩽ V(X)/δ². | B7, B10, S2, S9, S10, S11, D1, D3 (q. 5), D6, D7 |
| Concentration, contenus : Inégalité de concentration. Si Mn est la variable aléatoire moyenne d’un échantillon de taille n d’une variable aléatoire d’espérance μ et de variance V, alors pour tout δ > 0, P(│Mn – μ│ ⩾ δ) ⩽ V/(nδ²). | B8, S5, S6, S7, D5, D9 |
| Concentration, contenus : Loi des grands nombres. | S7 (q. 3), B9, D9 |
| Concentration, capacité attendue : Appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour définir une taille d’échantillon, en fonction de la précision et du risque choisi. | B8 (q. 3), S5, S7 (q. 4, 5), D6 (q. 7) |
| Exemples d’algorithme : Calculer la probabilité de (│Sn – pn│ > √n), où Sn est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ℬ(n,p). Comparer avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. | S10 (cas p = 1/2), D5, S2 (q. 4) |
| Exemples d’algorithme : Simulation d’une marche aléatoire. | S11 |
| Exemples d’algorithme : Simuler N échantillons de taille n d’une variable aléatoire d’espérance μ et d’écart type σ. Calculer l’écart type s de la série des moyennes des échantillons observés, à comparer à σ/√n. Calculer la proportion des échantillons pour lesquels l’écart entre la moyenne et μ est inférieur ou égal à ks, ou à kσ/√n, pour k = 1, 2, 3. | D9 |
| Algorithmique (partie probabilités, loi binomiale) : Simulation d’un échantillon d’une variable aléatoire. | B9, S1 (q. 5), D6 (partie D) |
| Concentration, approfondissements possibles : Estimation. | S5, S6 |
| Concentration, approfondissements possibles : Marche aléatoire. | S11 |
| Concentration, approfondissements possibles : Exemples d’application issus d’autres disciplines pour diverses valeurs de n : sondage (par exemple n = 1 000) […] | S5, S6 |
| Histoire des mathématiques : L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev (Bienaymé 1853, Tchebychev 1867) ; loi des grands nombres de Jacques Bernoulli | Non couvert (sans enjeu pour des exercices d’application) |