Couverture du programme : Première, Produit scalaire

Couverture du programme : Première spécialité, Calcul vectoriel et produit scalaire

Source : annexe du programme de l’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de première de la voie générale. Les items sont cités mot pour mot ; seule la mise en forme des notations mathématiques est normalisée.

Contenus

Item du BO (texte officiel, cité exactement)	Exercices
Produit scalaire à partir de la projection orthogonale et de la formule avec le cosinus. Caractérisation de l’orthogonalité.	projection orthogonale : B3 ; formule avec le cosinus : B2, B8 (question 5) ; caractérisation de l’orthogonalité : B1 (question 4), B5, S1
Bilinéarité, symétrie. En base orthonormée, expression du produit scalaire et de la norme, critère d’orthogonalité.	bilinéarité, symétrie : B1 (question 3), B4, S9, S11 (question 3) ; expression analytique et norme : B1, B3, S1, S6, D1 (question 1) ; critère d’orthogonalité : B1, B5, S1
Expression des coordonnées dans une base orthonormée en termes de produits scalaires avec les vecteurs de la base.	S11 (ajout)
Développement de ‖u + v‖² et ‖u − v‖². Formule d’Al-Kashi.	développement : B4, B8 (question 2), S9, D1 (question 1) ; Al-Kashi : B6, B11 (questions 1 et 3), S4, D6, D7 (question 2), D8
Transformation de l’expression MA · MB.	S2 (question 1), D2 (question 4), S3, S5, D4, D8

Capacités attendues

Item du BO (texte officiel, cité exactement)	Exercices
Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer un angle, une longueur dans le plan.	orthogonalité : B1, B5, S1, S9, D3, D8 ; angle : B2, B4, B6, S4, S6, S7, S10, D6, D8 ; longueur : B6, B7, S4, S5, D2, D6
En vue de la résolution d’un problème, calculer le produit scalaire de deux vecteurs en choisissant une méthode adaptée (en utilisant la projection orthogonale, à l’aide des coordonnées, à l’aide des normes et d’un angle, à l’aide de normes).	projection orthogonale : B3 ; coordonnées : B1, S1, S6, S8 ; normes et angle : B2, S2 (question 4), S9 (question 3), D5 ; normes : B4 (question 2), D1 (question 1)
Utiliser le produit scalaire pour résoudre un problème géométrique.	S2, S3, S5, S8, S9, S10, D3, D4, D5, D8

Démonstrations

Item du BO (texte officiel, cité exactement)	Exercices
Formule d’Al-Kashi (démonstration avec le produit scalaire).	D6 (question 1)
Ensemble des points M tels que MA · MB = 0 (démonstration avec le produit scalaire).	D2 (question 4, démonstration générale) ; S2 (cas particulier AB = 6), S8 (question 2, en coordonnées)

Approfondissements possibles

Item du BO (texte officiel, cité exactement)	Exercices
Loi des sinus.	S4 (question 5)
Concourance des hauteurs d’un triangle.	D3
Les médianes d’un triangle concourent au centre de gravité.	non traité (le centre de gravité est utilisé dans D4)

Histoire des mathématiques

Aucun exercice (aucune capacité du programme n’en dépend).

Parties transversales (contribution du chapitre)

Item du BO (texte officiel, cité exactement)	Exercices
mobiliser un contre-exemple pour montrer qu’une proposition est fausse	B8, B11 (question 2)
formuler une implication, une équivalence logique, et à les mobiliser dans un raisonnement simple	B8 (question 2), S2, S9 (« si et seulement si »)
formuler la réciproque d’une implication, la contraposée	B11 (question 1)
employer les expressions « condition nécessaire », « condition suffisante »	B11 (question 2)
identifier le statut des égalités (identité, équation) et celui des lettres utilisées (variable, inconnue, paramètre)	B11 (question 5), S1 (paramètre t), S10 (paramètre m)
Par ailleurs, les élèves produisent des raisonnements par disjonction des cas, par l’absurde, par contraposée, et en découvrent la structure.	disjonction des cas : B11 (question 4) ; absurde : B11 (question 3)
lire et écrire des propositions contenant les connecteurs logiques « et », « ou »	S4, D6 (question 3)
formuler la négation de propositions quantifiées	non traité dans ce chapitre (voir B9 de p-06)
Parcourir une liste. / Itérer sur les éléments d’une liste.	S7 (liste `p`, test `0 in p`, `min(p)`)
Générer une liste (en extension, par ajouts successifs ou en compréhension).	D7 (question 4, fonction `pythagore`)
La démarche algorithmique : […] variable, instruction conditionnelle et boucle ainsi que l’utilisation des fonctions.	B9, S7, D7 (fonctions, `if`, boucles imbriquées)

Compléments hors des items listés au BO (conservés, signalés)

Théorème de la médiane (B7 question 1, S4 question 4, S5, D2 questions 1 à 3, D8) : conséquence directe de la transformation de MA · MB et du développement de ‖u + v‖², usage courant mais non cité en tant que tel dans le BO. Conservé.
Aire d’un triangle (1/2) AB × AC sin A (B7 question 2, S4, S7 question 5, D8) : utilisée avec la loi des sinus (approfondissement). Conservée.
Tangente à un cercle en un point, intersection d’une droite quelconque et d’un cercle (S10, D8) : le BO cite l’équation de cercle et, en approfondissement, l’intersection d’un cercle et d’une droite parallèle à un axe. Conservés comme applications du vecteur normal.

Exercices hors programme

D1, questions 2 à 5 (identité de Lagrange, inégalité de Cauchy-Schwarz) : hors programme de Première. Signalé dans l’énoncé et dans le titre (« pour aller plus loin »). La question 1 (expression analytique à partir de la polarisation) est dans le programme.