Couverture du programme : Première, Variables aléatoires

Couverture du programme : Première spécialité, Variables aléatoires

Source : annexe du programme de l’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de première de la voie générale. Les items sont cités mot pour mot ; seule la mise en forme des notations mathématiques est normalisée.

Remarque importante : le texte officiel de Première ne contient ni la loi binomiale B(n, p), ni les coefficients binomiaux, ni les formules E(X) = np et V(X) = npq, ni la formule V(aX + b) = a²V(X) : le chapitre « Variables aléatoires réelles » se limite à la loi, l’espérance, la variance, l’écart type, la linéarité de l’espérance et la formule de König-Huygens, et la rubrique « Probabilités conditionnelles et indépendance » à « Pour n ⩽ 4, répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques ». Le chapitre est donc intitulé « Variables aléatoires ».

Contenus

Item du BO (texte officiel, cité exactement)	Exercices
Variable aléatoire réelle : modélisation du résultat numérique d’une expérience aléatoire ; formalisation comme fonction définie sur l’univers et à valeurs réelles.	modélisation : B1, B5, B7, S1, S2, S3, S6, D3, D4, D5 ; fonction définie sur l’univers : S9, S2
Loi d’une variable aléatoire.	B1, B2, B3, B7, S1 (question 4), S2, S6, S7, S9, D2, D3, D4, D5
Espérance, variance, écart type d’une variable aléatoire.	B2, B3, B4, S1, S2, S3, S5, S6, S7, D3, D4, D5
Linéarité de l’espérance.	B5 (question 3), B6, B8 (affirmation 4), S1 (question 4), S2 (question 4), S3, S6 (question 6), S9 (question 5), D1 (question 1), D3 (question 6)
Formule de König-Huygens.	B4 (question 3), B8 (affirmation 3), S1, S2, S5, S6, S7, S8 (question 5), D1 (question 2), D3, D5 (question 6)

Capacités attendues

Item du BO (texte officiel, cité exactement)	Exercices
Interpréter en situation et utiliser les notations {X = a}, {X ⩽ a}, P(X = a), P(X ⩽ a). Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.	B1 (question 3), B2 (question 2), S9 (questions 2 à 4, ajout)
Modéliser une situation à l’aide d’une variable aléatoire.	B5, B7, S1, S2, S3, S4, S5, S6, D3, D4, D5, D7
Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.	B1, B2, B7, S1 (question 4), S2, S6, S7, S9, D2, D3, D4, D5
Calculer une espérance, une variance, un écart type.	B2, B3, B4, S1, S2, S3, S5, S6, S7, S8, D3, D4, D5
Utiliser la notion d’espérance dans une résolution de problème (mise pour un jeu équitable, etc.).	B5, S1, S3, S9 (question 5), D3 (question 6), D4, D5 (partage équitable)

Exemples d’algorithmes

Item du BO (texte officiel, cité exactement)	Exercices
Algorithme renvoyant l’espérance, la variance ou l’écart type d’une variable aléatoire.	B9, S7 (question 4), S10 (question 3, espérance du rang d’une lettre)
Fréquence d’apparition des lettres d’un texte donné, en français, en anglais.	S10 (ajout)

Approfondissements possibles

Item du BO (texte officiel, cité exactement)	Exercices
Pour X variable aléatoire, étude de la fonction du second degré x ↦ E((X - x)²).	S8 (ajout, remplace l’ancien exercice sur la variable centrée réduite)

Expérimentations

Item du BO (texte officiel, cité exactement)	Exercices
Simuler une variable aléatoire avec Python ou un tableur.	B9 (fonction `nb_succes`), S5, D4 (question 6), D5 (question 6, fonction `partie`)
Lire, comprendre et écrire une fonction Python renvoyant la moyenne d’un échantillon de taille n d’une variable aléatoire.	B9 (fonction `moyenne`), S5, D4 (question 6), D5 (question 6)
Étudier sur des exemples la distance entre la moyenne d’un échantillon simulé de taille n d’une variable aléatoire et l’espérance de cette variable aléatoire.	B9 (question 3), S5 (question 4), D4 (question 6), D5 (question 6)
Simuler, avec Python ou un tableur, N échantillons de taille n d’une variable aléatoire, d’espérance μ et d’écart type σ. Si m désigne la moyenne d’un échantillon, calculer la proportion des cas où l’écart entre m et μ est inférieur ou égal à 2σ/√n.	S5 (questions 3 et 4), D4 (question 6, intervalle autour de l’espérance), D5 (question 6, question b)

Répétition d’épreuves de Bernoulli (rubrique « Probabilités conditionnelles et indépendance »)

Item du BO (texte officiel, cité exactement)	Exercices
Pour n ⩽ 4, répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques.	B7 (n = 3), S1 (n = 4), S4 (n = 3), S5 (n = 4), D3 (n = 3), D5 (au plus 3 parties restantes), D7 (n = 3 et n = 4)
Pour n ⩽ 4, représenter l’arbre associé à la répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques afin de calculer des probabilités.	B7, S1, S5, D3, D5 (question 1)
Succession de deux épreuves indépendantes. Représentation par un arbre ou un tableau.	S2 (tirages sans remise, non indépendants, pour contraste), S6 (manches indépendantes), D2 (tableau des sommes de deux lancers indépendants)

Parties transversales (contribution du chapitre)

Item du BO (texte officiel, cité exactement)	Exercices
Les élèves doivent connaitre les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’ensemble vide, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire […] Ils rencontrent également la notion de couple et celle de produit cartésien de deux ensembles.	S9 (univers {1 ; … ; 6} × {1 ; … ; 6}, inclusion {X ⩽ 2} ⊂ {X ⩽ 3}, différence d’ensembles, ensemble vide)
On utilise la notation Card(A) pour le cardinal (nombre d’éléments) d’un ensemble fini A.	S9 (Card(Ω))
mobiliser un contre-exemple pour montrer qu’une proposition est fausse	B8 (affirmations 3 et 5)
identifier le statut des égalités (identité, équation) et celui des lettres utilisées (variable, inconnue, paramètre)	B3 (paramètre a), S3 (paramètre a), S4 (inconnue p), D6 (inconnues p0, p1, p2), D7 (paramètre p)
Générer une liste (en extension, par ajouts successifs ou en compréhension).	B9 (liste `loi` en extension), S10 (`[0] * 26`, compréhension `[k / n for k in comptes]`, question 5 : ajouts successifs avec `append`), S7 (question 4, liste en compréhension)
Manipuler des éléments d’une liste (ajouter, supprimer, etc.) et leurs indices.	S10 (`comptes[ord(c) - ord('a')] += 1`, `f.index(max(f))`, question 5 : `append` puis `remove`)
Parcourir une liste. / Itérer sur les éléments d’une liste.	B9 (`for x, p in loi`), S10 (`for c in texte`, parcours par indices)
La démarche algorithmique : […] variable, instruction conditionnelle et boucle ainsi que l’utilisation des fonctions.	B9, S4 (boucle `while`), S5, S7, S10, D4 (question 6), D5 (question 6, boucle `while` et conditions)

Compléments hors des items listés au BO (conservés, signalés)

Loi de Bernoulli d’une seule épreuve, E(Y) = p et V(Y) = pq (B7 question 5) : calcul d’une espérance et d’une variance sur une loi à deux valeurs ; le BO ne cite que les « épreuves de Bernoulli ». Conservé.
S4 questions 4 et 5 : probabilité d’au moins un succès sur n tirs (n quelconque) : exemple de « succession de plusieurs épreuves indépendantes » (approfondissement du BO). Conservé.

Exercices et questions hors programme (traités)

Transformation affine de la variance, V(aX + b) = a²V(X) : non exigible en Première (le BO cite la linéarité de l’espérance, pas cette formule). Elle n’est plus utilisée dans les exercices : B6 ne porte plus que sur l’espérance, B8 (affirmations 3 et 4) a été réécrit, et S1 (question 4), S2 (question 4), S6 (question 6) et D3 (question 6) calculent la variance à partir de la loi de la nouvelle variable. Seule D1 (question 3) la démontre, signalée « hors programme ».
D1, question 5 (encadrement de la variance, V(X) ⩽ (M − m)² / 4) : hors programme, signalé dans l’énoncé.
L’ancien exercice D5 (E(X) = np et V(X) = npq pour n = 3 et n = 4, programme de Terminale) a été supprimé et remplacé par le problème des partis (Pascal et Fermat), qui relève de l’espérance et de l’arbre pour n ⩽ 3.
La mention « loi des grands nombres » (programme de Terminale) a été retirée de B9 : l’estimation de l’espérance par une moyenne d’échantillon est présentée comme observation expérimentale.
Non traité dans le BO de Première et donc absent de ces fiches : coefficients binomiaux, triangle de Pascal, loi binomiale B(n, p), intervalle de fluctuation par la loi binomiale.